12. Ознака монотонності функції

Теорема 3.11. Для того, щоб диференційовна на проміжку X функція   не спадала (не зростала) на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна в усіх точках цього проміжку була невід’ємна (недодатна), тобто   ( ).

Якщо похідна функції в усіх точках проміжку додатна (від’ємна), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

Доведення. Необхідність. Нехай диференційовна функція   зростає на проміжку X. Тоді   приросту аргументу   відповідає приріст функції  , а для   відповідає приріст функції  . Таким чином, в обох випадках   і тоді  , тобто  .

Аналогічно доводиться необхідна умова спадання функції.

 

Достатність. Нехай    . Тоді за теоремою Лагранжа   таке, що  . Але оскільки   за умовою, то, якщо  , отримаємо, що  . Отже, функція   зростає на проміжку X.

Аналогічно доводиться достатня ознака спадання функції.

 

Зауважимо, що умова   ( ) є достатньою, але не є необхідною умовою зростання (спадання) функції.

Так, наприклад, функція   зростає на всій числовій осі, але її похідна   не всюди додатна – вона перетворюється в нуль при  .

Дослідити функцію на монотонність – означає знайти проміжки, на яких вона зростає (спадає).

Схема дослідження функції на монотонність

1.     З’ясовують область визначення заданої функції  .

2.     Шукають першу похідну функції  .

3.     Прирівнюють першу похідну до нуля і знаходять корені рівняння   та точки, в яких похідна не існує.

4.     Наносять одержані розв’язки рівняння   (зафарбовані точки) та точки, в яких похідна не існує («виколоті» точки), на числову вісь. Ці точки розбивають числову вісь на числові проміжки.

5.     Досліджують знак похідної на кожному числовому проміжку. З цією метою з кожного проміжку вибирають довільне значення (точку) та з’ясовують знак похідної в цій точці.

6.     За одержаними результатами формують відповідь.

Екстремум функції

Означення 3.5. Точка   називається точкою локального максимуму [локального мінімуму] (local maximum [minimum]) функції  , якщо для всіх x із деякого околу точки   виконується нерівність:

 

        ( ) при  .

 

Означення 3.6. Точки локального максимуму (max) і локального мінімуму (min) називаються точками локального екстремуму (local extremum), а значення функції в цих точках - екстремальними значеннями функції.

 

Рис. 3.8

Рис. 3.9

 

На рис. 3.8 точка   - точка локального максимуму з екстремальним значенням  , а точка   на рис. 3.9 - точка локального мінімуму з екстремальним значенням  .

Теорема 3.12 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці локального екстремуму похідну, то ця похідна дорівнює нулю.

Доведення. Нехай   - точка локального екстремуму функції  . Розглянемо такий окіл точки  , в якому інших екстремальних точок немає. Очевидно, що тут виконується теорема Ферма, тобто  , що і потрібно було довести.

 

Помітимо, що рівність похідної нулю не є достатньою умовою екстремуму. Так, наприклад, функція   не має точок екстремуму, але її похідна   дорівнює нулю при  .

 

Рис. 3.10

Відмітимо також, що точка може бути екстремальною у випадку коли похідна в цій точці не існує. Наприклад, функція   (рис. 3.10) має точку локального мінімуму  , але похідна в цій точці не існує (не існує дотична при  ).

 

З наведених міркувань випливає, що локальний екстремум може знаходитись лише в такій точці, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Означення 3.7. Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками (critical points) першого роду для даної функції.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними (stationary points).

Отже, точки локального екстремуму необхідно шукати тільки серед критичних точок функції. Але потрібен критерій, за яким можна стверджувати, що дана критична точка є точкою локального екстремуму. Такий критерій дають дві наведені нижче теореми.

Теорема 3.13 (достатня умова екстремуму). Якщо при переході значень аргументу x функції   через критичну точку   її похідна змінює знак, то критична точка є точкою локального екстремуму, причому:

а) при зміні знака з „плюса” на „мінус” точка   є точкою локального максимуму;

б) при зміні знака з „мінуса” на „плюс” – точкою локального мінімуму.

Доведення. а) Нехай функція диференційовна в деякому  -околі критичної точки   і нехай   при переході через цю точку змінює знак з „+” на „”. Розглянемо відрізок, що сполучає точки   і  , де точка   належить  -околу. За теоремою Лагранжа на цьому відрізку знайдеться точкаc така, що:

 

.                               (*)

 

Якщо  , то точка   і, відповідно, точка с лежать зліва від  , тому за умовою  . З рівності (*) маємо, що

 

.

 

Якщо ж  , то точка   і, відповідно, точка с лежать справа від  , тому за умовою  . З рівності (*) випливає, що

 

.

 

Отже, всюди в  -околі точки   виконується умова:  , тобто точка   є точкою локального максимуму (за означенням).

Аналогічно проводиться доведення у випадку б).