Контрольні запитання модуля № 1
Захист модуля проводиться письмово згідно питань за лекціями № 1 – 4
Що є предметом теорії вірогідності?
Що таке «випробування»?
Що таке «подія»?
Що таке «випадкова подія»?
Що таке «вірогідність події»?
У чому полягає статистичне визначення вірогідності?
За яких умов можна застосовувати класичне визначення вірогідності?
Яке формулювання класичного визначення вірогідності?
Приведіть декілька прикладів достовірних, неможливих і випадкових подій.
Чому рівна вірогідність неможливої і достовірної подій?
Дайте визначення суми і твору подій. Приклади.
Як розуміють рівність двох подій? Приклади.
Які події називають протилежними? Приклади.
Що позначають слова “навмання”, ”довільно”? Приклади.
Що таке перестановки? Число всіх можливих перестановок?
Що таке розміщення? Число всіх можливих розміщень?
Що таке поєднання? Число всіх можливих поєднань?
У чому полягає «правило суми»?
У чому полягає «правило твору»?
Що таке безліч елементарних подій?
Що таке сума випадкових подій?
Що таке твір випадкових подій?
Що таке різниця подій?
Що таке безліч випадкових подій?
Що таке протилежна подія?
Що таке несумісні події?
Яка вірогідність суми двох сумісних подій?
Які події утворюють повну групу?
Яка вірогідність протилежної події?
Що таке умовна вірогідність?
Як виражається умовна вірогідність через безумовну?
Як зв'язана умовна вірогідність двох незалежних подій?
Яка формула твору подій?
Чому рівна вірогідність появи хоч би однієї події з незалежних в сукупності подій?
Які умови завдання, визначуваною формулою повної вірогідності?
Напишіть формулу повної вірогідності
Які умови завдання, визначуваною формулою Бейеса?
Напишіть формулу Бейеса.
Поясните умову незалежних випробувань
Запишіть формулу Бернуллі
Сформулюйте локальну граничну теорему Муавра-Лапласа
Сформулюйте інтегральну граничну теорему Муавра-Лапласа
Практичні завдання до заліку по модулю 1
Скількома способами можна скласти трибарвний смугастий прапор, якщо є матеріал різних 5 квітів?
Скільки словників треба видати, щоб можна було безпосередньо виконувати переклади з будь-якої з 5 мов: російського, англійського, французького, німецького, італійського на будь-яку з цих п'яти мов?
У однієї людини є 7 книг по математиці, а у іншого 9 книг. Скількома способами вони можуть обміняти 2 книги одного на 2 книги іншого?
З колоди, що містить 52 карти, вийняли 10 карт. У скількох випадках серед цих карт опиниться хоч би один туз?
У місцевком вибрано 10 чоловік. З них треба вибрати голову, заступника голови, секретаря і культорга. Скількома способами це можна зробити?
З складу конференції, на якій були присутні 52 людини, треба вибрати делегацію з 5 чоловік. Скількома способами це можна зробити?
Із спортивного клубу, що налічує 30 членів, треба скласти команду з 4 – х людина для участі в бігу на 1000м. Скількома способами це можна зробити? А скількома способами можна скласти команду з 4 – х людина для участі в естафеті 100 + 200 + 400 + 800?
З групи, що складається з 7 чоловіків і 4 жінок, треба вибрати 6 чоловік так, щоб з них було не менше 4 жінок. Скількома способами це можна зробити?
На студентському вечорі були присутні 12 дівчат і 15 хлопців. Скількома способами можна вибрати з них 4 пари для танцю?
Скількома способами можна вибрати 12 чоловік з 17, якщо Іванов і Петров входять до числа цих 17 і їх не можна обирати разом?
Скількома способами можна переставити букви в слові «логарифм» так, щоб друге, четверте і шосте місця були зайняті приголосними буквами?
Скількома способами можна вибрати із слова «логарифм» дві приголосних і одну явну букву? Те ж завдання, якщо серед вибраних є буква «ф».
Яким числом способів можна розбити колоду з 36 карт навпіл так, щоб в кожній пачці було по 2 тузи?
Скільки можна скласти телефонних номерів з 5 цифр так, щоб в кожному окремо узятому номері всі цифри були різними?
У речовій лотереї розігрується 8 предметів. Що перший підійшов до урни витягає з неї 5 квитків. Яким числом способів він може їх вийняти, щоб: 1) рівно 2 з них виявилися виграшними; 2) принаймні, 2 з них були виграшними? Всього в урні 50 квитків.
З 15 солдатів 3 необхідно відправити на розвідку. Скількома способами можна це зробити?
У партії з 100 виробів 10 дефектних. Скількома способами можна з 100 виробів витягувати 5 так, щоб серед них було рівно 3 дефектних?
У урні 5 білих і 7 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Скількома способами їх урни можна вийняти 2 білу і 1 чорну кулю?
Хтось купив картку спортлото і відзначив в ній 6 з тих, що є 49 номерів. Скільки є способів вгадати 3 виграшних номери? 4 номери? 5 номерів? 6 номерів?
У автомашині 7 місць. Скількома способами можна 7 чоловік можуть всістися в цю машину, якщо зайняти місце водія можуть тільки 3 з них?
Студентові необхідно скласти 4 іспити протягом 10 днів. Скількома способами можна скласти йому розклад?
Скільки існує різних автомобільних номерів, які складаються з 5 цифр, якщо перша з них не рівна 0? Якщо номер складається з 1 букви, за якою слідують цифри, відмінні від 0?
Енциклопедія складається з 9 томів – з 1 по 9. Скількома способами можна поставити її на полиці безладно, тобто так, щоб томи не слідували один за іншим в порядку зростання їх номерів?
На залізниці 50 станцій. На кожному квитку друкується назва станції відправлення і прибуття. Скільки різних квитків потрібно віддрукувати? Те ж питання, якщо кожен квиток можна використовувати в будь-якому напрямі, тобто байдуже, з якою з 2 – х позначених на квитку станцій ви відправляєтеся.
З групи в 20 солдатів щоночі виділяється наряд, що складається з 3 -х чоловік. Скільки підряд ночей командир може виділяти наряд, не співпадаючий ні з одним з попередніх. Скільки разів при цьому до наряду увійде Віллі Сміт, який знаходиться серед цих 20 солдатів?
Підприємство може надати роботу за фахом токар 4 – м жінкам, за фахом слюсарюючи – п'яти чоловікам і за фахом фрезерувальника – трьом працівникам, незалежно від їх підлоги. Скількома способами можна заповнити ці місця, якщо на них є 18 претендентів, серед яких 8 жінок і 10 чоловіків?
У ліфт шестиповерхового будинку сіли 4 пасажири. Кожен незалежно від інших з однаковою вірогідністю може вийти на будь-якому, починаючи з другого, поверсі. Визначити вірогідність того, що а) всі вийшли на рівних поверхах; би) принаймні двоє зашли на одному поверсі.
У урні є 10 куль: 3 білих і 7 чорних. З урни навмання виймається одна куля. Яка вірогідність того, що ця куля: а) білий, би) чорний?
Із слова «навмання» виймається одна буква. Яка вірогідність того, що це буква «я»? Яка вірогідність того, що ця буква явна?
Кинуто 2 монети. Знайти вірогідність того, що випадуть два герби.
Кидають гральну кістку. Яка вірогідність випадання № 4 на верхній грані що впала на стіл кістки? Яка вірогідність випадання номера, більшого 4?
При стрілянині була отримана частота попадання 0,6. Скільки було зроблено пострілів, якщо було допущено 12 промахів?
Кинуті 2 гральних кістки. Яка вірогідність випадання на двох кістках в сумі не менше 9 очок? Яка вірогідність випадання 1 принаймні на одній кістці?
На шахівницю з 64 кліток ставлять наугад дві туру білого і чорного кольору. З якою вірогідністю вони битимуть один одного?
З п'яти карток з буквами А, Би, В, Г, Д навмання одна за одною вибирають три і розташовують в ряд в порядку появи. Яка вірогідність того, що вийде слово «два»?
З послідовності 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 наугад вибирають 2 числа. Яка вірогідність того, що одне з них менше 5, а інше більше 5?
Дитина грає з чотирма буквами рівної азбуки А, А, М, М. Яка вірогідність того, що при випадковому розташуванні букв в ряд він отримає слово «МАМА».
При наборі телефонного номера абонент забув дві останні цифри і набрав їх на успіх, пам'ятаючи тільки, що ці цифри непарні і рівні. Знайти вірогідність того, що номер набраний правильно
У лотереї 100 квитків, з яких 20 виграшних. Учасник лотереї купує 3 квитки. Визначити вірогідність того, що він виграв хоч би один квиток?
Серед 25 екзаменаційних квитків 5 «хороших». Два студенти беруть по черзі по одному квитку. Знайти вірогідність наступних подій.
А: перший студент узяв хороший квиток (а другий або хороший або поганий).
У: другий студент узяв хороший квиток (а перший або хороший або поганий).
З: обидва студенти узяли хороший квиток.
У партії з 50 виробів 5 бракованих. З партії вибираються навмання 6 виробів. Визначити вірогідність того, що серед цих 6 виробів 2 виявляться бракованими.
У ліфті 7 поверхового будинку на першому поверсі увійшли 3 людини. Кожен з них з однаковою вірогідністю виходить на будь-якому поверсі, починаючи з другого. Знайти вірогідність наступних подій:
А: всі пасажири вийдуть на 4 поверсі
У: всі пасажири вийдуть на одному поверсі разом
З: всі пасажири вийдуть на різних поверхах.
Куб, всі грані якого забарвлені, розпиляний на 1000 кубиків однакового розміру. Отримані кубики ретельно перемішані. Визначити вірогідність того, що кубик, що витягує наугад, матиме дві забарвлені сторони.
З повного набору кісток доміно на успіх беруться 5 кісток. Знайти вірогідність того, що серед них буде хоч би одна з шестіркою.
З 10 квитків виграшними є 2. Визначити вірогідність того, що серед узятих на успіх 5 квитків: а) 1 виграшний; би) обидва виграшних; у) хоч би один виграшний.
Десять книг на одній полиці розставляються наугад. Визначити вірогідність того, що поряд здаються поставленими «Обломов», «Обрив», «Звичайна історія»?
У колоді 36 карт чотирьох мастей. Після витягання і повернення однієї карти колода перемішується і знову витягується одна карта. Визначити вірогідність того, що обидві карти однієї масті, що витягують?
Буквений замок містить, на загальній осі 5 дисків, кожен з яких роздільний на 6 секторів з різними нанесеними на них буквами. Замок відкривається тільки в тому випадку, якщо кожен диск займає одне певне положення щодо корпусу замку. Визначити вірогідність відкриття замку, якщо встановлена довільна комбінація букв.
З колоди карт (52 карти) наугад витягується 3 карти. Знайти вірогідність, що це буде трійка, сімка і туз.
Студент купив картку спортлото і відзначив в ній 6 з тих, що є 49 номерів. Після цього в тиражі розігруються 6 «виграшних» номерів з 49. Знайти вірогідність, наступних подій:
А: вірно вгадані 3 виграшних номери з 6
Би: вірно вгадані 4 виграшних номери з 6
З: вірно вгадані 36выйграшных номери з 6
Д: вірно вгадані всі 6 номерів.
У урні 7 білих і 3 чорних кулі. З урни одночасно виймають 2 кулі. Яка подія ймовірніше: А = { кулі одного кольору} або В= { кулі різних квітів}?
З ящика, що містить 5 перенумерованих виробів, виймають одне за іншим вироби, що все знаходяться в нім. Знайти вірогідність того, що номери виробів, що виймаються, йтимуть по порядку 1, 2, 3, 4, 5.
З ящика того, що містить 5 перенумерованих виробів, виймають одне за іншим всі вироби знаходяться в нім. Кожен виріб після виймання вкладаються назад і перемішуються з іншими, а його номер записується. Знайти вірогідність того, що записана природна послідовність номерів 1, 2, 3, 4, 5.
Студент прийшов на залік, знаючи з 30 питань тільки 24. Яка вірогідність не здати залік, якщо після відмови відповідати на питання, викладач ставить ще одне питання?
Кидаються 4 гральних кістки. Знайти вірогідність того, що на них випаде по однаковому числу очок.
Два мисливці стріляють у вовка, причому кожен робить по одному пострілу. Для першого мисливця вірогідність попадання в ціль 0,7, для другого – 0,8. Яка вірогідність попадання у вовка (хоч би при одному пострілі)? Як зміниться результат, якщо мисливці зроблять по два постріли?
Вірогідність попадання в ціль першим стрільцем 0,6, другим 0,4. Стрілки вистрілили одночасно. Яка вірогідність того, що один з них попаде в ціль, а інший не потрапить?
У двох партіях 71 і 47% доброякісних виробів відповідно. Наугад вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка вірогідність виявити серед них:
Хоч би одне браковане;
Два бракованих;
Одне доброякісне і одне браковане;
Вірогідність того, що мета уражена при одному пострілі, першим стрільцем рівна 0,61, другим 0,55. Перший зробив 2, а другий 3 постріли. Знайти вірогідність того, що мета не уражена.
Визначити вірогідність того, що партія з 100 виробів, серед яких 5 бракованих, буде прийнята при випробуванні наугад вибраної половини всієї партії, якщо умовами прийому допускається бракованих виробів не більше 1 з 50.
Розрив електронного ланцюга відбувається у тому випадку, коли виходить з ладу хоч би один з трьох послідовно сполучених елементів. Визначити вірогідність того, що не буде ланцюгу, якщо елементи виходять з ладу з вірогідністю 0,3; 0,4 і 0,6. Як зміниться шукана вірогідність, якщо перший елемент не виходить з ладу?
Визначити вірогідність того, що вибраний на успіх виріб є першосортним, якщо відомо, що 4 % всій продукції є браком, а 75% не бракованих виробів задовольняють вимоги першого сорту.
Партія з 100 деталей піддається вибірковому контролю. Умовою непридатності всієї партії є наявністю хоч би однієї бракованої деталі серед що 5 перевіряються. Яка вірогідність для даної партії бути не прийнятою, якщо вона містить 5% несправних деталей?
Радист тричі викликає кореспондента. Вірогідність ухвалення виклику рівна 0,2 для одного виклику; 0,3 для другого виклику; 0,4 для третього виклику. Знайти вірогідність встановлення зв'язку, якщо події, якщо події, що полягають в тому, що даний виклик буде почутий, незалежні.
Проводиться стрілянина по деякій меті, вірогідність попадання в яку при одному пострілі рівна 0,2. Стрілянина припиняється при першому попаданні. Знайти вірогідність того, що буде проведене рівно 6 пострілів.
У приймачі є 6 радіо ламп одного типу і 8 радіоламп іншого типу. Вірогідність виходу лампи з ладу в перебігу часу Т рівна 0,002 для лампи першого типу і 0,004 – для лампи другого типу. Яка вірогідність того, що в перебігу цього часу вийде з ладу хоч би одна лампа?
Студент знає 45 з 60 питань програми. Кожен екзаменаційний квиток містить 3 питання. Знайти вірогідність того, що студент знає:
а) всі три питання;
б) тільки два питання;
в) тільки один питання екзаменаційного питання.
Три стрільці в однакових і незалежних умовах провели по одному пострілу по одній і тій же меті. Знайти вірогідність того, що:
а) тільки один із стрільців попав в ціль;
б) тільки два стрільці попали в ціль;
в) все три стріла попали в ціль.
Для сигналізації про аварію встановили 3 що незалежно працюють пристрої. Вірогідність того, що при аварії спрацює перший пристрій, рівна 0,9, друге – 0,95, третє – 0,85. Знайти вірогідність того, що при аварії спрацює:
а) тільки одне пристрій;
б) тільки два пристрій;
в) всі три пристрої.
Вірогідність того, що протягом дня відбудеться неполадка верстата, рівна 0,03. Яка вірогідність того, що протягом чотирьох днів підряд
а) відбудеться більше трьох неполадок;
б) менше двох неполадок;
З повної колоди карт (52) виймаються чотири карти. Знайти вірогідність того, що все ці чотири карти будуть різних мастей.
Завод виготовляє певного типу виробу, кожне з яких має дефект з вірогідністю 0,1. Виріб оглядається одним контролером; він виявляє наявний дефект з вірогідністю 0,95, а якщо дефект не виявлений, пропускає виріб в готову продукцію. Крім того, контролер може помилково забракувати виріб, що не має дефекту; вірогідність цього 0,02. Знайти вірогідність наступних подій:
А – виріб буде забракований;
В – виріб буде забракований, але помилково;
С – виріб буде пропущений в готову продукцію з дефектом.
При включенні запалення двигуна починає працювати з вірогідністю 0,7.
Знайти вірогідність того, що двигун почне працювати при другому включенні запалення;
Знайти вірогідність того, що для введення двигуна в роботу доведеться включити запалення не більше двох разів.
Винищувач, озброєнь двома ракетами, посилається на перехоплення повітряної мети. Вірогідність виведення винищувача в таке положення, з якого можливо атака мети, рівна 0,6. Якщо винищувач виведений в таке положення, він випускає по меті обидві ракети, кожна з яких незалежна один від одного, виводяться в околицю мети з вірогідністю 0,8. Якщо ракета виведена в околицю мети, вона вражає її з вірогідністю 0,98. Знайти вірогідність того, що мета буде уражена.
Є дві урни: у першій 3 білих кулі і два чорних, в другій чотири білих і чотири чорних. З першої урни перекладають в другу, не дивлячись, дві кулі. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Знайти вірогідність того, що ця куля буде білою.
Припустимо, що 5% всіх чоловіків і 0,25% всіх жінок дальтоніки. Навмання вибрана особа страждає дальтонізмом. Яка вірогідність того, що це чоловік? (вважати, що чоловіків і жінок однакове число).
На фабриці тієї, що виготовляє болти, перша машина проводить 25, друга – 35, третя – 40% всіх виробів. У їх продукції брак складає відповідно 5, 4 і 2%.
а) Яка вірогідність того, що випадково вибраний болт дефектний?
б) Випадково вибраний з продукції болт виявився дефектним. Яка вірогідність того, що він був проведений другою машиною?
З 1000 ламп 100 належать 1 – й партії, 250 – 2 – й партії, останні – 3 -х партії. У 1 – й партії 6%, в 2 – й 5%, в 3 – й 4% бракованих ламп. Наугад вибирається одна лампа. Визначити вірогідність того, що вибрана лампа бракована.
У першій урні 4 білих і 1 чорна куля, в другій – 2 білих і 5 чорних. З першої урни в другу перекладено 3 кулі, потім з другої урни витягує одна куля. Визначити вірогідність того, що вибрана з другої урни куля – білий.
У альбомі 8 чисті і 10 гашених марок. З них наугад витягуються 3 мазкі (серед яких можуть бути і чисті і гашені), піддаються спец гасінню і повертаються в альбом. Після цього знов наугад витягуються 2 мазкі. Визначити вірогідність того, що ці 2 мазкі чисті.
У магазин поступають однотипні вироби з трьох завезень, причому перший завод поставляє 50% виробів, другий 30%, третій завод 20% виробів. Серед виробів першого заводу 70% першосортних, серед виробів другого заводу 80% і серед виробів третього заводу 90% першосортних. Куплене одне вироби. Воно виявилося першосортним. Визначити вірогідність того, що куплений виріб виявився виготовленим першим заводом.
У тире є 5 рушниць, вірогідність попадання, з яких рівні відповідно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 . Визначити вірогідність попадання, якщо стріляючий берет одна з рушниць на успіх.
Телеграфне повідомлення складається з сигналів “крапка” і “тире”. Статистичні властивості перешкод такі, що спотворюються в середньому
повідомлень “крапка” і
повідомлень “тире”. Відомо, що серед
переданих сигналів “крапка” і “тире”
зустрічаються в співвідношенні 5:3.
Визначити вірогідність того, що
прийнятий переданий сигнал, якщо: а)
прийнятий сигнал “крапка”; б) прийнятий
сигнал “тире”13. У правій кишені є три монети по 20 коп. і чотири монети по 3 коп., а в лівому – шість по 20 коп. і три – по 3 коп. З правої кишені в ліву, наугад перекладаються п'ять монет. Визначити вірогідність витягання з лівої кишені після перекладання монети в 20 коп., якщо монета береться наугад?
Відомо, що 96% продукції, що випускається, задовольняє стандарту. Спрощена схема контролю визнає придатною стандартну продукцію з вірогідністю 0,98 і нестандартну – з вірогідністю 0,05. Визначити вірогідність того, що виріб, що пройшов спрощений контроль, задовольняє стандарту.
Для контролю продукції з трьох партій деталей узята для випробування одна деталь. Як велика вірогідність виявлення бракованої продукції, якщо в одній партії 2/3 деталі браковані, а в двох інших – всі доброякісні?
На трьох верстатах за однакових і незалежних умов виготовляються деталі одного найменування. На першому верстаті виготовляють 10%, на другому – 30%, на третьому – 60% всіх деталей вірогідність кожної деталі бути бездефектною рівна 0,7, якщо вона виготовлена на першому верстаті; 0,8 - якщо на другому верстаті і 0,9 – якщо на третьому верстаті. Знайти вірогідність того, що навмання узята деталь виявиться бездефектною.
У кожній з двох урн знаходиться 5 білих і 10 чорних куль. З першої урни переклали в другу наугад одну кулю, а потім з другої урни вийняли навмання одну кулю. Знайти вірогідність того, що вийнята куля виявиться чорною.
Є десять однакових урн, з яких в дев'яти знаходиться по два чорних і дві білі кулі, а в одній - п'ять білих і одна чорна куля. З урн, узятою наугад, витягує біла куля. Яка вірогідність того, що куля витягує з урни, що містить п'ять білих куль?
Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній партії виріб бракований. Виріб, узятий наугад з першої партії, перекладений в другу, після чого вибирається на успіх виріб з другої партії. Визначити вірогідність потягу бракованого виробу з другої партії.
Для сигналізації про те, що режим роботи автоматичної лінії верстатів відхиляється від нормального, використовується індикатор, що належить з вірогідністю 0,2; 0,3 і 0,5 до одного з трьох типів, для яких вірогідність спрацьовування при порушенні нормальної роботи лінії рівна відповідно 1, 0,75 і 0,4. Від індикатора отриманий сигнал. До якого типу найімовірніше належить індикатор?
Є три однакові з вигляду урни. У першій 5 білих і 5 чорних куль, в другій 0 білих і 7 чорних, в третій – тільки білі кулі. Хтось підходить навмання до однієї з цих урн і витягує одну кулю. Знайти вірогідність того, що ця куля біла.
Прилад може працювати в двох режимах: 1) нормальному; 2) ненормальному. Нормальний режим спостерігається в 80% всіх випадків роботи приладу, ненормальний – в 20% Вірогідність виходу приладу з ладу за час в нормальному режимі рівна 0,1, в ненормальному 0,7. Знайти вірогідність виходу приладу з ладу за час.
У рибака є три улюблені місця для лову риби, яких він відвідує з рівною імовірністю кожне. Якщо він закладає вудку на першому місці, риба клює з вірогідністю 0,85, на другому місці – з вірогідністю 0,8, на третьому – з вірогідністю 0,9 Відомо, що рибак вийшов на лов риби і риба клюнула тільки один раз. Знайти вірогідність того, що він вудив рибу на першому місці.
У групі з 10 студентів, що прийшли на іспит, 3 підготовлених на іспити відмінно, 4 добре, 2 - посередньо і один погано. У Екзаменаційних квитках є на все 20 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на все 20 питань, добре підготовлений на – 16, посередньо – 10, погано – 5. Викликаний навмання студент відповів на три довільно заданих питання. Знайти вірогідність того, що цей студент підготовлений: а) відмінно, би) погано.
Група студентів складається з 5 відмінників, 10 добре успішних і таких, що 10 займаються слабо. Відмінники на іспиті можуть отримати тільки відмінні оцінки. Добре успішні студенти можуть отримати з рівною імовірністю гарні і відмінні оцінки. Ті, що слабо займаються можуть отримати з рівною імовірністю гарні, задовільні і незадовільні оцінки. Для складання іспиту викликається навмання один студент. Знайти вірогідність того, що він отримає гарну або відмінну оцінку.
У автобусі їдуть 9 пасажирів. На наступній зупинці кожен з них виходить з вірогідністю 0,6. Крім того, в автобусі з вірогідністю 0,7 не виходить жоден пасажир, з вірогідністю 0,3 з'являється один новий пасажир. Знайти вірогідність того, що коли автобус знову рушить в шлях після наступної зупинки, в нім буде як і раніше 9 пасажирів.
Прилад складається з двох вузлів: робота кожного вузла, безумовно, необхідна для роботи приладу в цілому. Надійність (вірогідність безвідмовної роботи перебіг часу t) першого вузла рівна 0,9, другого 0,95. Прилад випробовувався протягом часу t, внаслідок чого виявлено, що він вийшов з ладу (відмовив). Знайти вірогідність того, що відмовив тільки перший вузол, а другою справний.
У цеху працюють 20 верстатів. З них 10 – мазкі А, 6 – мазкі В і 4 – мазкі С. вірогідність того, що якість деталі позначиться відмінною, для цих верстатів відповідно рівна: 0,9; 0,8 і 0,7. Який відсоток відмінних деталей випускає цех?
106. Серед виробів цеху 10% з дефектом. Вироби з однаковою вірогідністю можуть потрапити до одного з трьох контролерів. Вірогідності визначення дефекту кожним контролером відповідно рівне 0,9; 0,93; і 0,87. Визначити вірогідність того, що дефект буде виявлений в цеху.
Радіолампа належить до однієї з трьох партій з вірогідністю 0,2; 0,3; і 0,5. Вірогідність того, що лампа пропрацює Т ч., рівна для цих партій 0,3; 0,6; і 0,8. Обчислити вірогідність того, що лампа пропрацює Т годинника.
У разі аварії черговий з рівною можливістю може скористатися одній з трьох сигналізацій. Вірогідність спрацьовування сигналізації рівна 0,9; 0,96 і 0,87.
а) Визначити вірогідність того, що сигнал про аварію буде отриманий. би) сигнал про аварію не отриманий. Визначити вірогідність того, що черговий скористається другим сигналізатором.
На фабриці знаходиться продукція трьох фабрик. Продукція першої фабрики 10%, другої - 35% і третьої - 55%. Брак відповідно для кожної фабрики складає: 1, 3 і 2%. Визначити вірогідність того, що навмання узятий виріб:
а) виявиться стандартним;
б) виявиться бракованим і виготовлено на першій фабриці.
Для роботи приладу необхідна справність обох блоків, з яких він складається. Вірогідність безвідмовної роботи в перебігу часу F для першого блоку Р1, а для другого Р2. Прилад випробували Т годинника, в результаті він вийшов з ладу. Визначити вірогідність того, що відмовив тільки перший блок.
Вірогідність появи успіху в кожному випробуванні рівна 0,25. Яка вірогідність того, що при 300 випробуваннях успіх наступить: а) рівно 75 разів? Би) рівно 85 разів?
У перші класи повинне бути прийняте 200 дітей. Визначити вірогідність того, що серед них опиниться 100 дівчаток, якщо вірогідність народження хлопчика рівна 0,515.
Яка вірогідність того, що в стовпчику 100 навмання відібраних монет число монет, розташованих «гербом » вгору, буде від 45 до 55?
Виробництво дає 1% браку. Яка вірогідність того, що з узятих на дослідження 1100 виробів вибракувано буде не більше 17?
Схожість насіння даної рослини рівна 0,9. Знайти вірогідність того, що з 900 посадженого насіння число пророслих буде поміщено між 790 і 830.
Монета підкидається 8 разів. Яка вірогідність того, що 6 разів вона впаде гербом вгору?
Монета підкидається 6 разів. Яка вірогідність того, що вона впаде гербом вгору не більше 3 разів?
Яка вірогідність того, що при 100 киданнях монети герб з'явиться від 40 до 60 разів?
У цеху 6 моторів. Для кожного мотора вірогідність того, що він в даний момент включений, рівна 0,8. Знайти вірогідність того, що в цеху в даний момент: а) включено 4 мотори; б) включені всі мотори; у) вимкнені всі мотори.
Знайти вірогідність того, що подія А з'явиться на п'яти незалежних випробуваннях не менше 2 разів, якщо в кожному випробуванні вірогідність появи події А рівне 0,3?
Проведено 8 незалежних випробувань, в кожному з яких вірогідність появи події А рівна 0,1. Знайти вірогідність того, що подія А з'явиться хоч би 2 рази.
Монета підкидається 6 разів. Яка вірогідність того, що герб випаде: а) менше 2 разів; би) не менше 2 разів.
По каналу зв'язку передається 7 повідомлень. Кожне повідомлення не залежне від один одного з вірогідністю 0,1 спотворюється перешкодами. Знайти вірогідність наступних подій.
А: = {з 7 повідомлень рівно 3 спотворюватимуться перешкодами}
В: = {не менше три з 7 повідомлень будуть передані неспотвореними}
С: = { не більше половини всіх переданих повідомлень буде спотворена}
Д: = { всі повідомлення будуть прийняті без спотворень}
Е: = { не менш 2-х повідомлень будуть спотворені}
Цех заводу випускає кульки для підшипників. За зміну проводиться п=1000 кульок. Вірогідність того, що одна кулька виявиться дефектом, рівна 0,05. Причини дефектів для окремих кульок не залежні. Знайти вірогідність подій:
А: до кінця зміни буде рівно 50 бракованих кульок;
У: число бракованих кульок коливатиметься від 30 до 70;
З: число бракованих кульок не перевищить 500.
Технічний пристрій З складається з 5 вузлів, кожен вузол за час експлуатації відмовляє (виходить з ладу) з вірогідністю р= 0,4. Окремі вузли відмовляють незалежно один від одного. Якщо виявляється більше трьох вузлів, пристрій не може працювати, якщо відмовить один вузол або два вузли, воно працює, але з пониженням ефективністю. Знайти вірогідність подій:
А: у пристрої не відмовив жоден вузол
У: пристрій не може працювати
З: пристрій працює із зниженою ефективністю.
Вірогідність виходу з ладу виробу за час випробувань на надійність р=0,05. Яка вірогідність, що за час випробувань ста виробів вийдуть з ладу: а) рівно 5 виробів; би) не менше 5 виробів; у) не більше 5 виробів; г) від 5 до 10 виробів.
Є 100 верстатів однакової потужності, що працюють незалежно один від одного в однаковому режимі, при якому їх привід виявляється включеним в течії 0,8 всього робочого часу. Яка вірогідність того, що в довільно узятий момент часу включеними виявляться рівно 80 верстатів? Від 70 до 86 верстатів?
У учбовому закладі навчаються 730 студентів. Вірогідність того, що день народження наугад узятого студента доводиться на будь-який день року рівна 1/365. Знайти вірогідність того, що на 1 січня випаде: а) день народження 3-х студентів; би) не менш 4-х студентів.
Вірогідність виходу з ладу за час Т одного конденсатора рівна 0,2. Визначити вірогідність того, що за час Т з 100 конденсаторів вийдуть з ладу: а) рівно 20 конденсаторів; би) не менше 20 конденсаторів; у) менше 28 конденсаторів; г) від 14 до 26 конденсаторів.
Вірогідність того, що лампа залишиться справної після 1000 годин роботи, рівна 0,2. Яка вірогідність того, що хоч би одна лампа з трьох залишиться справної після 1000 годин роботи?
Вірогідність «збою» в роботі телефонної станції при кожному виклику рівна 0,002. Поступило 1000 викликів. Знайти вірогідність: а) 7 збоїв; би) не менше 7 збоїв; у) менше 7 збоїв; г) від 7 до 20 збоїв.
На кожен лотерейний квиток з вірогідністю 0,1 може випасти крупний виграш, з вірогідністю 0,2 – дрібний виграш, і з вірогідністю 0,7 квиток може залишитися без виграшу. Куплено 15 квитків. Визначити вірогідність отримання одного великого і 2 дрібних виграшів.
Модуль №2
Опрацювати лекції № 5 - 7
Підготовка до виконання практичної роботи № 6
Підготовка до виконання практичної роботи № 7
Підготовка до виконання практичної роботи № 8
Підготовка до обов'язкової контрольної роботи
Підготовка до захисту модуля № 2 по лекціях № 5 - 7
Виконання семестрового завдання, с. 48
1. Опрацювати лекції № 5 - 7 за планом лекції.
При опрацюванні лекції необхідно прочитати її, вивчити основні визначення, терміни та формули, відповісти на контрольні запитання, які є після кожної лекції. Якщо виникли питання, більш щільно розібрати питання за літературою, яка вказана у чинній методиці, або звернутися за консультацією до викладача.
[3] с. 52–65
2. Практична робота № 6 за темою „Побудова закону розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин. Знаходження числових характеристик”
Для даної роботи треба використовувати методичні рекомендації до виконання практичних робіт, де дано пояснення виконання роботи, як її оформити і варіанти індивідуального завдання, дати відповіді на контрольні запитання, які є у рекомендаціях.
[4] с. 25-31
3. Практична робота № 7 за темою „Визначення функції та щільності розподілу ймовірностей випадкових величин, побудова графіків. Знаходження числових характеристик”
Для даної роботи треба використовувати методичні рекомендації до виконання практичних робіт, де дано пояснення виконання роботи, як її оформити і варіанти індивідуального завдання, дати відповіді на контрольні запитання, які є у рекомендаціях.
[4] с. 31-37
4. Практична робота № 8 за темою „Нормальний розподіл. Обчислення ймовірностей заданого відхилення”
Для даної роботи треба використовувати методичні рекомендації до виконання практичних робіт, де дано пояснення виконання роботи, як її оформити і варіанти індивідуального завдання, дати відповіді на контрольні запитання, які є у рекомендаціях.
[4] с. 37-42
5. Обов'язкова контрольна робота
Контрольна робота складається з трьох задач і проводиться в аудиторії протягом двох годин. Робота виконується на листах зі штампом. Кожна задача обов'язково повинна мати пояснення до рішення задачі. Перед контрольною роботою студент повинен повторити теоретичний матеріал, розглянути приклади, які приведені в підручниках і на практичних заняттях.