2 Практичне заняття 2. Розрахунок оптимально складу шихти з метою зниження витрат на виробництво виливків

2.1. Методика розрахунку

У різноманітних економічних моделях планування виробництва за оптимальний приймається план, що забезпечує заданий виробничий результат при мінімальних витратах. Рішенням подібних завдань займається математичне програмування, найбільш вивченим розділом якого є лінійне програмування. У наведеному прикладі буде використаний найбільш поширений - симплекс метод, запропонований Дж. Данцигом, за допомогою якого можна розв’язати будь-яке завдання лінійного програмування.

Математично завдання оптимізації складу шихти полягає в пошуку мінімального значення лінійної функції (2.1):

, (2.1)

де Х₁, Х₂, ... , X_n - вміст компонентів у шихті, %; С₁, С₂, ... , С_n - ціна компонентів шихти, грн./т.

2.2 Приклад розрахунків

Розглянемо методику розрахунків на конкретному прикладі.

За умовами виробництва необхідно вибрати оптимальний склад шихти для одержання виливків із сірого чавуну із пластинчастим графітом марки СЧ20 за ДСТУ 1412-85 в індукційній плавильній печі ІЧТ-6,0 з кислої футерівкою. Маса завалки шихти - 6,0 т.

Вихід придатного литва на підприємстві - 60%, угар і безповоротні втрати - 6%. Отже, максимальний обсяг вороття становить 34%.

Необхідний хімічний склад чавуну відповідно до ДЕРЖСТАНДАРТУ 1412-85 наведений у таблиці 2.

Таблиця 2.1 - Необхідний хімічний склад чавуну відповідно до ДСТУ 1412-85

Марка чавуну	Масова частка елементів, %
	С	Si	Mn	P	S
				не більше
СЧ20	3,3-3,5	1,4-2,4	0,7-1,0	0,2	0,15

У таблиці 2.2 наведено довідкові дані щодо угару елементів у процесі плавки.

Таблиця 2.2 - Угар елементів, % від вмісту в шихті (довідкові дані)

С	Si	Mn	P	S
5	3	10	-	-

Хімічний склад шихтових матеріалів, що пропонуються для виплавки заданої марки чавуну, наведений у таблиці 2.3.

Таблиця 2.3 - Шихтові матеріали для виробництва чавуну

Найменування, марка	Код	Вміст контрольованих елементів, масова частка, %					Ціна, грн/т
		С	Si	Mn	P	S
1. Чавун ливарний Л2	Х1	3,6	3,2	0,3	0,07	0,03	900,00
2. Чавун ливарний Л4	Х2	3,95	2,2	0,48	0,08	0,04	852,00
3. Чавун ливарний Л5	ХЗ	3,7	1,8	0,46	0,05	0,05	820,00
4. Чавун переробний ПЛ1	Х4	3,8	1,05	0,41	0,05	0,02	786,00
5. Чавун переробний ПЛ2	Х5	4,2	0,65	0,28	0,03	0,05	720,00
6. Брухт сталевий 1А	Х6	0,3	0,25	0,4	0,08	0,02	400,00
7. Брухт чавунний 16А	Х7	3,2	1,4	0,5	0,07	0,07	440,00
8. Брухт чавунний (бій виливниць)	Х8	3,4	1,7	0,7	0,06	0,05	460,00
9. Стружка чавунна 21А	Х9	3,5	1,6	0,5	0,07	0,06	260,00
10. Вороття власного виробництва СЧ20	Х10	3,6	1,8	0,51	0,06	0,05	50,00
11. Феросиліцій ФС45	Х11	0,06	45	0,2	0,03	0,07	2160,00
12. Феромарганець ФМн78	Х12	7,0	-	80	0,35	0,03	2760,00

У нашому конкретному випадку функція (2.1) набуває вигляду (2.2):

Z=900Х₁+852Х₂+820Хз+786Х₄+720Х₅+400Х₆+440Х₇+

+460Х₈+260Х₉+50Х₁₀+2160X₁₁+2760X₁₂ (2.2)

при наявності лінійних обмежень, заданих системою рівностей і нерівностей (2.3)-(2.24):

Обмеження за хімічним складом:

Вміст вуглецю

3,6X₁+3,95X₂+3,7X₃+3,8X₄+4,2X₅+0,3X₆+3,2X₇+

+3,4X₈+3,5X₉+3,6X₁₀+0,06X₁₁+7X₁₂ 3,465; (2.3)

3,6X₁+3,95X₂+3,7X₃+3,8X₄+4,2X₅+0,3X₆+3,2X₇+

+3,4X₈+3,5X₉+3,6X₁₀+0,06X₁₁+7X₁₂ <3,675, (2.4)

де 3,465 і 3,675, відповідно, мінімально й максимально припустимий вміст вуглецю в чавуні, з урахуванням угару.

Вміст кремнію

3,2Х₁+2,2Х₂+1,8Х₃+1,05Х₄+0,65Х₅+0,25Х₆+1,4Х₇+

+1,7Х₈+1,6Х₉+1,8Х₁₀+75Х₁₁  1,442; (2.5)

3,2Х₁+2,2Х₂+1,8Х₃+1,05Х₄+0,65Х₅+0,25Х₆+1,4Х₇+

+1,7Х₈+1,6Х₉+1,8Х₁₀+75Х₁₁<2.472, (2.6)

де 1,442 і 2,472, відповідно, мінімально й максимально припустимий вміст кремнію в чавуні, з урахуванням угару.

Вміст марганцю

0,3Х₁+0,48Х₂+0,46Х₃+0,41Х₄+0,28Х₅+0,4Х₆+0,5Х₇+

+0,7Х₈+0,5Х₉+0,51Х₁₀+0,2Х₁₁+80X₁₂  0,77; (2.7)

0,3X₁+0,48X₂+0,46X₃+0,41X₄+0,28X₅+0,4X₆+0,5X₇+

+0,7X₈+0,5X₉+0,51X₁₀+0,2X₁₁+80X₁₂ <1,10, (2.8)

де 0,77 і 1,10, відповідно, мінімально й максимально припустимий вміст марганцю в чавуні, з урахуванням угару.

Вміст фосфору

0,07X₁+0,08X₂+0,05X₃+0,05X₄+0,03X₅+0,08X₆+

+0,07X₇+0,06X₈+0,07X₉+0,06X₁₀+0,03X₁₁+0,35X₁₂ <0,2, (2.9)

де 0,2 - максимально припустимий вміст фосфору в чавуні, з урахуванням угару.

Вміст сірки

0,03Х₁+0,04Х₂+0,05Х₃+0,02Х₄+0,05Х₅+0,02Х₆+

+0,07Х₇+0,05Х₈+0,06Х₉+0,05Х₁₀+0,07Х₁₁+0,03Х₁₂ <0,15, (2.10)

де 0,2 - максимально припустимий вміст сірки в чавуні, з урахуванням угару.

Обмеження на вміст компонентів шихти:

Сума компонентів шихти повинна становити 100 % або 1 у відносних одиницях:

Х₁+Х₂+Х₃+Х₄+Х₅+Х₆+Х₇+Х₈+Х₉+Х₁₀+Х₁₁+X₁₂=1. (2.11)

Кількість вороття, що утворюється, становить 34 %. Вороття використовується в повному обсязі, отже:

Х₁₀=0,34. (2.12)

Технологічні обмеження на використання стружки - до 8%, отже:

Х₉0; (2.13)

Х₉<0,08. (2.14)

Вважаємо, що технологічних обмежень щодо вмісту інших компонентів шихти немає. У цьому випадку необхідно врахувати те, що вміст будь-якого компонента в шихті не може приймати негативне значення. Для цього вводимо такі обмеження:

X10; (2.15)	X60; (2.20)
Х20; (2.16)	Х70; (2.21)
Х30; (2.17)	X80; (2.22)
X40; (2.18)	Х110; (2.23)
X50; (2.19)	X120. (2.24)

Таким чином, розв’язання сформульованого завдання оптимізації зводиться до рішення задачі лінійного програмування, а саме - до визначення таких значень X₁, X₂, ... , Х₁₂, що задовольняють систему обмежень (2.3)-(2.24), при яких цільова функція (2.2) досягає мінімуму.