15.2Символьные вычисления

До этого момента мы рассматривали лишь численное решение задач в Mathcad. Ключевой особенностью Mathcad, однако, является также наличие в нем достаточно мощного символьного процессора, т.е. блока, осуществляющего тождественные преобразования выражений Mathcad.

В Mathcad существует два основных способа выполнить символьные преобразования: при помощи команд меню Символика или при помощи специального оператора символьных вычислений, имеющего вид стрелки вправо. Оператор символьных вычислений вводится при помощи кнопки , расположенной на панелях инструментов «Вычисления» или «Символьно», либо комбинацией клавиш Ctrl+. (точка).

Эти два метода имеют существенные различия. Преобразование, вызываемое командой меню Символика, не учитывает значения определенных в документе ранее переменных и функций, и осуществляется только в момент выполнения команды меню. Результат преобразования, таким образом, оказывается статичен: изменение значений констант и переменных в документе, влияющих на полученный символьными преобразованиями результат, не приведут к его изменению. Меню Символика, таким образом, служат для преобразования одиночных выражений, которые затем используются для числовых вычислений.

Оператор символьных вычислений, наоборот, учитывает все предшествующие присвоения, определения и преобразования. И если что-либо в листе изменится, символьное преобразование, выполненное через оператор, также обновится.

Символьные преобразования, осуществляемые посредством меню

Наиболее общим случаем символьных вычислений является использование команды Символика – Вычислить – Символически (дублируется комбинацией клавиш Shift+F9). Команда позволяет осуществлять символьные вычисления матриц, алгебраических выражений, пределов, производных, определенных интегралов, при условии, что они имеют символьное решение.

Если символьное решение не найдено, команда повторит исходное выражение в неизменном виде.

Для того, чтобы воспользоваться этой (и любой другой) командой из меню символьных вычислений, следует предварительно выделить вычисляемое выражение курсором (линиями синего цвета).

П оведение команд из меню символьных вычислений определяется в диалоговом окне, которое вызывается через меню Символика – Стиль вычислений…. Переключатель позволяет указать, где вставлять результат символьного вычисления: ниже исходного выражения (со вставкой строки или без) или справа от него. Верхний флажок позволяет при выполнении операции перед результатом вставить комментарий – текстовый блок с ее названием, а нижний флажок включает режим, когда результат символьной операции заменяет исходное выражение.

Команда Символика – Упростить выполняет комплекс преобразований: производит арифметические вычисления, сокращает множители, использует основные соотношения тригонометрических функций и раскрывает степени и корни. Если выражение не может быть упрощено перечисленными методами, команда возвращает исходное выражение в неизменном виде.

Также команда Символика – Упростить позволяет вычислять пределы и производные функций, осуществлять операции с матрицами.

Пример применения команды Символика – Упростить:

Команда Символика – Расширить служит для раскрытия скобок с последующим приведением подобных слагаемых. Команда работает не только с возведением в степени, но и позволяет раскрывать скобки в выражениях с обыкновенными дробями и тригонометрическими функциями. Пример применения команды Символика – Расширить:

Команда Символика – Множитель, наоборот, раскладывает выражение на множители. Команда работает только для тех выражений, числовые коэффициенты при переменных у которых являются целыми числами. Пример применения команды Символика – Множитель:

Команда Символика – Собрать позволяет записать выражение в виде произведения каждой из степеней интересующей нас переменной на скобку, содержащую сумму всех ее множителей. В отличие от предыдущих команд, команда Собрать требует выделения курсором не всего выражения, а переменной или функции, которая будет вынесена за скобки. Пример применения команды Символика – Собрать (был выделен x):

Команда Символика – Многочленные показатели служит для быстрого определения всех коэффициентов многочлена (включая свободный член) и записи их в виде вектора. Кстати, именно таким вектором является аргумент функции polyroots(v). Для работы команды следует выделить курсором переменную, коэффициенты при которой требуется определить. Пример применения команды Символика – Многочленные показатели (был выделен x):

.

Команда Символика – Переменная – Решить после выделения некоторой переменной в выражении приравнивает это выражение к нулю, и затем пытается символьно решить полученное уравнение относительно данной переменной. Если решение существует, оно будет отображено.

Таким же образом можно решить уравнение без предварительного приравнивания правой его части нулю. Для этого в качестве выражения следует записать непосредственно уравнение, использовав при записи знак булевского равенства (жирное равно). Таким же образом можно решать и неравенства.

Команда Символика – Переменная – Заменить заменяет в выражении все вхождения переменной, выделенной курсором, подставляя вместо нее содержимое буфера обмена. Соответственно, для работы команды необходимо предварительно выделить некоторое выражение и скопировать его в буфер обмена.

Команды Символика – Переменная – Дифференцировать и Символика – Переменная – Интегрировать позволяют соответственно продифференцировать и проинтегрировать выражение, в котором находится курсор, относительно переменной, которая выделена курсором. Остальные переменные при этом Mathcad считает константами.

Команда Символика – Переменная – Заменить по порядку (неточный перевод) раскладывает выражение относительно выделенной переменной в степенной ряд. В зависимости от свойств выражения Mathcad использует разложение либо в ряд Тейлора, либо в ряд Лорана. В открывшемся диалоговом окне выбирается количество членов ряда, которые необходимо вычислить (не более 99). Последним членом ряда Mathcad записывает выражение , что обозначает бесконечно малую величину. Данная команда Mathcad в состоянии разложить в степенной ряд только те функции, которые определены для x=0.

Команда Символика – Переменная – Обратить в простейшую дробь записывает выражение в виде суммы элементарных дробей, числители которых являются целым числом, а знаменатели представляют собой многочлен 1-й или 2-й степени относительно выделенной переменной. Пример применения команды Символика – Переменная – Обратить в простейшую дробь (был выделен x):

Также меню символьных вычислений присутствуют команды Символика – Матрица – Транспозиция, Инверсия и Определитель для транспонирования матрицы, нахождения обратной матрицы и вычисления определителя.

Все вышеперечисленные команды символьных вычислений и преобразований по умолчанию считают, что выделенная переменная и любые константы принимают исключительно действительные значения. Команда Символика – Вычислить – Комплексно осуществляет преобразования аналогично команде Символика – Вычислить – Символически, однако результат преобразования будет заведомо записан в комплексной форме, в виде a+bi. Команда Символика – Вычислить – Плавающая точка…, наоборот, записывает результат символьного вычисления в виде десятичной дроби (несмотря на название команды, результат при возможности записывается в привычном нам виде, а не при помощи мантиссы и порядка). В отличие от обычных вычислений, символьные вычисления с переводом в формат десятичной дроби осуществляются с высочайшей точностью, так как используется символьный процессор Mathcad. Точность определяется числом значащих цифр в результате, которое задается в специальном диалоговом окне, появляющемся при выполнении команды. Подсказка в окне указывает, что число цифр может лежать в диапазоне от 1 до 4000.

Меню Символика – Трансформация содержит шесть подпунктов, позволяющие осуществить над выражением относительно выделенной в нем переменной прямые и обратные преобразования Фурье, Лапласа и Z-преобразование (преобразование Лорана).