Решение задачи Коши для волнового уравнения. Решение краевых задач на полупрямой.
Пусть требуется найти решение задачи Коши:
(10)
Здесь и
всюду в дальнейшем
.
Если
, то решение задачи Коши (10) существует
и выражается формулой:
(11)
В случае
однородного уравнения (
)
справедлива формула Даламбера
Рассмотрим краевые задачи для однородного волнового уравнения на полупрямой. Пусть требуется решить однородную краевую задачу первого типа:
(13)
Продолжим
функции
и
нечетным образом на отрицательную
часть оси x,
обозначим через
и
полученные таким образом функции:
,
Тогда решение задачи (13) имеет вид
Для решения однородной краевой задачи второго типа
(15)
продолжим
четным образом функции
и
на отрицательную часть оси x,
обозначим через
и
полученные функции:
,
Тогда функция
является решением задачи (15).
Решение
смешанной задачи на полупрямой для
уравнения
с нулевыми начальными условиями
и неоднородными краевыми условиями
или
ищем в виде функции
(17)
Наконец, пусть требуется решить неоднородную краевую задачу первого или второго типа с неоднородными начальными условиями:
или (18)
Ее можно разбить на две задачи:
однородная краевая задача:
или (19)
задача с однородными начальными условиями:
или (20)
Тогда решение задачи (18) представляется в виде:
(21)
Замечание. Формулы (14), (16), (21) задают «формальные» решения соответствующих краевых задач.
Задание 3.
Решить задачу Коши для гиперболического уравнения:
№ |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
24 |
|
|
|
25 |
|
|
|
26 |
|
|
|
27 |
|
|
|
28 |
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
|
|
|
Задание 4. Начально-краевые задачи на полупрямой.
Решить начально-краевую задачу для гиперболического уравнения на полупрямой:
