Вопросы

1. Дайте определение статистической средней.

2. Какие виды средних величин применяются в статистике? Какие средние величины используются чаще всего?

3. Как исчисляется средняя арифметическая простая и в каких случаях она применяется?

4. Как исчисляется средняя арифметическая взвешенная и в каких случаях она применяется?

5. Почему средняя арифметическая интервального ряда является приближенной средней, от чего зависит степень ее приближения?

6. Назовите особенности нахождения средней в интервальных рядах.

7. Как исчисляется средняя гармоническая и в каких случаях она применяется?

8. Что представляют собой структурные средние?

9. Что такое показатели вариации? По каким формулам они рассчитываются?

Практическое занятие № 4 Средние величины и показатели вариации Теоретическая часть

1. Средняя в статистике, ее сущность и значение.

2. Виды и формы средних величин.

3. Средняя арифметическая и ее свойства.

4. Средняя гармоническая.

5. Мода и медиана.

6. Понятие вариации и ее значение.

7. Меры вариации.

Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

В статистике применяются две категории средних:

• степенные средние (арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая);

• структурные средние (мода, медиана).

Степенные средние исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получили средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Средняя арифметическая простая равна сумме значений признака, деленной на их число:

,

где х – значение признака (вариант);

n – число единиц признака.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда.

Если данные представлены в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых одинаковые значения признака (х) объединены в группы, имеющие различное число единиц (f), называемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взвешенная:

.

Пример 1

Пусть имеются данные страховых организаций области о числе заключенных договоров по личному добровольному страхованию.

№ группы	Число договоров, тыс., х	Число страховых организаций, f	Число заключенных договоров, xf
I	20	6	120
II	26	10	260
III	30	15	450
IV	32	16	512
V	36	3	108
	Итого:	50	1450

Определим среднее число заключенных договоров в расчете на одну страховую организацию области.

Среднее число договоров на одну страховую организацию определяется отношением общего числа заключенных договоров к числу страховых организаций:

Для расчета средней из интервального ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом. Для закрытых интервалов за дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе – интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен рассмотренному выше.

Наряду со средней арифметической применяется средняя гармоническая, которая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной.

Пример 2

Пусть доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

№ банка	Средняя процентная ставка, х	Доход банка, тыс. руб., M = xf	Сумма кредита, М/х
1 2	40 35	600 350	1500 1000
Итого:	–	950	2500

Определим среднюю процентную ставку банков.

Основой выбора формы средней является реальное содержание определяемого показателя:

Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) ^. 100.

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах. Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (М) на процентную ставку (х) (см. последнюю графу).

Средняя будет равна

или 38%.

Приведенная формула называется средней гармонической взвешенной, где веса представляют собой произведения процентной ставки (х) на сумму кредита (f): M = xf.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

,

где Мо – мода;

х_Мо – нижняя граница модального интервала;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Мо – частота модельного интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модельным.

Пример 3

Пусть имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

№ группы	Заработная плата, руб.	Число работников, чел.	Сумма накопленных частот
I	500-600	10	10
II	600-700	30	40
III	700-800	70	110
IV	800-900	60	170
V	900-1000	25	195
VI	Свыше 1000	5	200
Всего:		200

Определим модельный размер заработной платы.

Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников – 70 человек – имеют заработную плату в интервале 700-800 руб., который и является модальным.

Медианой называется вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

,

где Ме – медиана;

х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i_Ме – величина медианного интервала;

Sf – сумма частот ряда;

S_Ме-1 – сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

f_Ме – частота медианного интервала.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2=100).

В графе "Сумма накопленных частот" значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 руб., а половина – выше этой суммы.

Показатели вариации характеризуют меру колеблемости среднего значения признака. К ним относятся:

1. Размах вариации (R), который является наиболее простым измерителем вариации признака:

R = X_max – X_min

2. Среднее линейное отклонение (L), которое представляет собой среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня. В зависимости от наличия частот в ряду распределения его можно рассчитать по формуле средней арифметической простой

или по формуле средней арифметической взвешенной

3. Дисперсия, которая представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия вычисляется по формуле простой и взвешенной:

- простая дисперсия;

- взвешенная дисперсия.

Расчет дисперсии прямым способом в ряде случаев трудоемок, поэтому, чтобы упростить расчет, используют расчет дисперсии по способу отсчета от условного нуля или способу моментов

, где

i – величина интервала;

- начальный момент первого порядка;

- начальный момент второго порядка;

А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой.

Правило сложения дисперсий. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признаков во всей совокупности.

Межгрупповая дисперсия характеризует различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки, и рассчитывается по формуле:

, где

- средние по отдельным группам;

n_i – численности по группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов. она рассчитывается следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Три вида дисперсий находятся в следующей взаимосвязи:

Это есть правило сложения дисперсий.

4. Среднее квадратическое отклонение (s), которое представляет собой корень второй степени из дисперсии

- невзвешенное;

- взвешенное.

5. Коэффициент вариации (V). Это отношение среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической, он выражается в процентах и дает характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% для распределений, близких к нормальному.

или .

Задачи

Задача 1

Рабочие бригады имеют следующий стаж работы на предприятии:

Табельный номер рабочего	01	02	03	04	05	06
Стаж работы, лет	10	4	12	11	7	9

Определите средний стаж работы рабочих бригады.

Задача 2

Распределение рабочих по тарифному разряду следующее:

Тарифный разряд	1	2	3	4	5
Число рабочих, чел.	2	7	12	30	10

Определите средний уровень квалификации рабочих по предприятию.

Задача 3

Имеются следующие данные по зерновым культурам акционерных обществ:

Культуры	В базисном году		В отчетном году
	Урожай, ц. с 1 га	Валовой сбор	Урожай, ц. с 1 га	Посевная площадь, га
Пшеница	25	63000	28	3300
Ячмень	20	38000	22	1800

Вычислите среднюю урожайность:

а) в базисном году;

б) в отчетном году.

Задача 4

Результаты обследования показали следующее распределение работников торговли по стажу:

Стаж, лет	Число работников, чел
до 6	15
6 - 12	25
12 - 18	35
18 - 24	15
св. 24	10
ИТОГО	100

Задача 5

Имеются данные о цене реализации картофеля на рынке с 1 по 10 сентября по 8,5 руб. за кг, а с 11 по 31 сентября по 9 руб. за кг. Исчислите среднемесячную цену картофеля за 1 кг.

На основании этих данных исчислить:

1) средний стаж работников торговли;

2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации.

Задача 6

Имеются следующие данные о размере вкладов населения:

Сумма вкладов, тыс. руб.	Процент вкладов к общей численности
До 10	30
10-50	40
50-200	15
200-500	10
500 и более	5
ИТОГО	100

Исчислите:

1. средний размер вклада;

2. моду;

3. медиану;

4. среднее квадратическое отклонение;

5. коэффициент вариации.

Задача 7

По данным о затратах времени на изготовление одной детали охарактеризуйте ряд распределения затрат времени на изготовление деталей.

Затраты времени, мин.	Число деталей, шт.
До 10	10
10-12	20
12-14	50
14-16	15
16 и более	5
ИТОГО	100

Исчислите:

1. средние затраты времени;

2. моду;

3. медиану;

4. среднее линейное отклонение;

5. дисперсию;

6. среднее квадратическое отклонение;

7. коэффициент вариации.