2.4.5. Пример определения статических и динамических характеристик элемента сау

Для элемента САУ (четырехполюсника), схема и параметры которого приведены на рис. 2.14, найдем следующие статические и динамические характеристики:

• дифференциальное уравнение;

• переходную функцию;

• передаточную функцию;

• передаточный коэффициент;

• ч астотные (амплитудно-фазовую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную)характеристики

Рис. 2.14. Схема и параметры элемента

Составление дифференциального уравнения элемента

В соответствии с законами линейных электрических цепей записываем следующие уравнения:

r i+ u_c = e ; (2.41)

(2.42)

Подставляя значение тока i из выражения (2.42) в уравнение (2.41) получаем дифференциальное уравнение

(2.43)

Подставляя параметры r и c четырехполюсника (рис. 2.15) в уравнение (2.43) получаем искомое дифференциальное уравнение элемента

(2.44)

Нахождение переходной функции элемента

Полагаем входной сигнал четырехполюсника равным единичному ступенчатому воздействию e = 1(t). Тогда его выходной сигнал будет равен переходной функции u_c = h(t).

Учитывая сказанное в уравнении (2.44), приводим его к виду:

1(t). (2.45)

Вынужденную составляющую переходной функции находим из уравнения (2.45), полагая в нем производную dh(t) /dt)= 0,

h_в(t) = 1. (2.46)

Составляем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.45)

0,1p + 1 = 0. (2.47)

Корень характеристического уравнения

p = -10.

Свободную составляющую переходной функции находим по выражению (2.21) при n = 1 и p₁ =-10

(2.48)

Находим переходную функцию, суммируя ее вынужденную (2.46) и свободную (2.48) составляющие,

h(t) = h_в(t) + h_с(t) = (2.49)

Из уравнения (2.49) при нулевых начальных условиях (h(0) = 0 ) определяем коэффициент

C₁ = -1.

Подставляя значение этого коэффициента в выражение (2.49), находим искомую переходную функцию элемента

(2.50)

График переходной функции элемента приведен на рис. 2.15.

Рис. 2.15. График переходной функции элемента

Нахождение передаточной функции элемента

В дифференциальном уравнении (2.44) степени полиномов правой и левой частей соответственно m = 0 и n = 1. Тогда коэффициенты этого уравнения b₀ = 1; a₀ = 0,1; a₁ = 1.

При этих коэффициентах по выражению (2.30) находим искомую передаточную функцию элемента

(2.51)

Нахождение передаточного коэффициента элемента

Искомый передаточный коэффициент элемента находим по выражению (2.31) при b₀ = 1 и a₁ = 1

(2.52)

или из выражения (2.51) при p=0

(2.53)

Определение частотных характеристик элемента

Амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) элемента находим из выражения (2.38) путем подстановки в него передаточной функции (2.51) при p = j :

(2.54)

Вид афчх на комплексной плоскости приведен на рис. 2.16, а.

Из выражения (2.54) находим действительную и мнимую частотные характеристики

(2.55)

(2.56)

Подставляя значения этих характеристик в выражения (2.39) и (2.40), находим искомые выражения соответственно для амплитудной и фазовой частотных характеристик:

(2.57)

(2.58)

Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик приведены на рис. 2.16, б,в.

Гр

Рис. 2.16. Частотные характеристики элемента

а – амплитудно – фазовая, б – амплитудная, в – фазовая.