8.Закон розподілу Максвела

Теплова або середня квадратична швидкість представляє собою середню характеристику теплового руху усієї сукупності мікрочастинок. В дійсності, всі мікрочастинки рухаються з різними швидкостями і можна поставити питання про розподіл мікрочастинок за швидкостями.

Максвел вирішив цю задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями постійного руху в стані теплової рівноваги. Він показав, що вірогідність того, що деяке число молекул dN із загального числа молекул N володіє швидкостями, що лежать у інтервалі від до . Виражається дана вірогідність відношенням:

, (5)

f(v) - функція розподілу молекул за швидкостями;

dv - інтервал швидкостей, що розглядається.

Вигляд функції можна встановити на прикладі руху молекул ідеального газу в однорідному полі тяжіння. Спочатку розглянемо закон розподілу молекул по значенням вертикальної складової швидкості. Число молекул , що знаходяться в безкінечно тонкому шарі газу на висоті z, товщина dz:

,

n(z) – концентрація молекул газу на висоті z.

Рухаючись як вільні, дані молекули через деякий інтервал часу перейдуть на висоту і займуть шар . При цьому, їх швидкості будуть лежати в інтегралі від до , але одне і те ж число молекул. Якщо прийняти, що , то незмінність числа цих молекул виражається:

, (6)

- концентрація молекул газу на висоті .

При русі в полі тяжіння горизонтальні складові швидкості не будуть змінюватись, а зміна визначається законом збереження енергії, згідно якого:

.

Якщо продиференціювати це рівняння, при вибраних сталих значеннях , отримаємо:

.

За час dt молекула на висоті z пройде шлях , а на висоті , пройде шлях .

Якщо виключимо елементарний час dt, то:

. (7)

Перемножимо почленно рівняння (6) і (7) і знайдемо:

.

Із урахуванням останнього виразу, рівняння (5) спрощується і приймає вигляд:

.

Використовуючи закон Больцмана у вигляді рівняння (2), отримаємо:

.

На основі закону збереження і перетворення енергії, знаходимо, що:

.

Тоді:

Звідси слідує, що:

. (8)

В стані теплової рівноваги рух молекул газу буде рівновигідним по всіх напрямках.

Так як вірогідність складної події, яка складається з незалежних подій, рівна добутку вірогідностей цих подій, то повні функція розподілу молекул за швидкостями буде мати вигляд:

.

Тоді:

. (9)

З урахуванням рівняння (9), запишемо рівняння (5):

, (10)

- об’єми нескінчено малого паралелепіпеда, що побудований в координатній системі простору швидкостей навколо точки з векторною координатою .

Так як тепловий рух молекул газу рівновірогідний у всіх напрямках, для визначення відношення необхідно просумувати усі елементарні об’єми, що знаходяться на відстані і ці об’єми заповнять шаровий прошарок між 2 нескінчено-близькими сферами з радіусами v i v+dv.

Об’єм такого шару:

.

Таким чином, число молекул з швидкостями в інтервалі від v до v+dv буде чисельно дорівнювати:

, (11)

- деяка стала, що не залежить від швидкості молекул.

Знайдемо вираз величини А. Так як інтервал швидкостей від нуля до нескінченності охоплює всі молекули, то очевидно, що інтеграл:

,

тоді:

.

Якщо зробити заміну змінних і скористатися значенням, що , то знайдемо:

.

З урахуванням цього, закон розподілу Максвела:

.