2.5 Основные понятия алгебры высказываний. Логические операции.

Анализ и синтез основных узлов ЭВМ удобно выполнять в помощью понятий и законов алгебры логики. Она представляет собой математический аппарат, который позволяет описывать функционирование устройств ЭВМ и помогает проектировать вычислительные средства. Эти операции позволяют выполнять действия с отдельными битами, а не целыми байтами, как в обычных операциях.

Основным понятием алгебры логики является высказывание. Высказывание – законченное предложение, о котором можно определенно сказать, что его содержание либо истина (равно 1), либо ложь (равно 0).

Например: 1. Луна - планета Солнечной системы. 2. 3. 8 - простое число.

Предложения "Будь осторожен!", "Справишься ли ты с заданием?" не являются высказываниями и, следовательно, рассматриваться не будут.

Для описания структуры логической схемы ЭВМ, необходимо входам и выходам схемы ставить в соответствие переменные алгебры логики, которые могут принимать два значения: 0 или 1. Для обозначения этих переменных удобно использовать латинские буквы, например А и В.

В алгебре высказываний определены действия над высказываниями, выполняя которые мы получаем новые высказывания.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции: логического сложения, логического умножения, логического отрицания (инверсия), эквиваленции и импликации.

• Определение 1. Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза ИЛИ, употребляемого в исключающем смысле, называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Она может быть записана в одном из двух видов: F = A  B ; F = A + B.

Например:

если А : Спортсмены находятся в спортзале, В: Спортсмены играют в баскетбол,

то А+В: Спортсмены находятся в спортзале или спортсмены играют в баскетбол.

Таблица истинности для суммы высказываний имеет вид:

Таблица 4

А	В	А+В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Таким образом, сумма истинна только тогда, когда истинно хотя бы одно из слагаемых.

• Определение 2. Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза И называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Возможны различные варианты записи конъюнкции:

F = A  B ; F = A ^* B ; F = A & B .

Для упрощения знак конъюнкции опускается и записывается следующим образом: АВ. Истинность логического произведения устанавливается с помощью таблицы 3:

Таблица 3.

А	В	А*В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Логическое произведение истинно только в том случае, если истинны оба входящих в него простые высказывания.

• Определение 3. Присоединение союза НЕ к сказанному некоторого высказывания или слова неверно ко всему высказыванию называется операцией отрицания.

Например:

если А - "Идет дождь", то отрицанием А ( ) является высказывание "Дождь не идет". Отрицанию соответствует таблица:

Таблица 5

А
1	0
0	1

• Определение 4. Соединение высказываний союзом тогда и только тогда, когда он определяет операцию эквиваленции и обозначается знаком     или  ~ называется эквиваленцией. Высказывание AB истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Этой операции соответствует таблица:

Таблица 6.

А	В	А~В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Например, высказывания     "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3",    "21 делится на 7 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"   истинны,   а высказывания   "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5",   "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"   ложны.

• Определение 5. Операция при помощи, которой высказывания объединяются связкой "если ..., то" называют импликацией и обозначается знаком  . Высказывание AB  ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.

Таблица 7

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Импликацию можно выразить через  дизъюнкцию  и  отрицание:

А  В =A + В.   Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А В = (A + В) ^* (B + А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Любую логическую формулу можно представить в виде таблицы истинности.

Сложное высказывание является результатом действий над простыми высказываниями. Формула сложного высказывания помогает лучше рассмотреть связи между простыми высказываниями, входящими в сложное высказывание. Используя основные свойства операций и законы алгебры высказываний, можно одну формулу заменить другой, ей равносильной.

Аксиомы и теоремы над логическими высказываниями.

Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий.

В частности, для алгебры логики выполняются законы:

1. сочетательный:

(a * b) * c= a * (b * c) , см. табл. 8

2) переместительный:

a + b = b + a

a * b= b * а

3) распределительный:

a * (b + c) = a * b + a * c

a + b * c = a * b + a * c

Таблица 8

a	b	c	(a*b)	(a*b)*c	(b*c)	(b*c)*a
0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	1	1	1	1

Наименьшим элементом в алгебре логики является 0, а наибольшим элементом – 1.

Функция в алгебре логики – это алгебраическое выражение, содержащее элементы алгебры логики a, b, c…, связанные между собой операциями, определенными в этой алгебре. Например: Пусть а=1, b=0, c=1, тогда функция f(a,b,c) -

f(a,b,c) = + ** c + =0+0*1*1+0=0+0+0=1

f(a,b,c) = a * + a * c + =1*1+1*1+1=1+1+1=1

Преобразование формул алгебры высказываний. Сложное высказывание является результатом действий над простыми высказываниями. Формула сложного высказывания помогает лучше рассмотреть связи между простыми высказываниями, входящими в сложное высказывание. Используя основные свойства операций алгебры высказываний, можно одну формулу заменить другой, ей равносильной.

Рассмотрим специальное преобразование формул, которое называется минимизацией формул алгебры высказываний.

Определение. Преобразование формулы алгебры высказываний в равносильную ей так, чтобы новая формула содержала наименьшее количество букв, называется минимизацией алгебры высказываний.

Рассмотрим один из многих способов минимизации. Минимизацию произвольной формулы осуществим следующим образом:

1. Если данная формула не содержит, рассмотренные ранее выше логические операции, то их следует выразить через операции логического сложения, умножения и отрицания.

2. Если данная формула содержит отрицание сложных высказываний, то, пользуясь формулами де Моргана, ее следует преобразовать так, чтобы отрицание распространялось только на простые высказывания.

Например:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

3. Затем в полученной формуле нужно раскрыть скобки так, чтобы вся запись представляла сумму произведений простых высказываний (или их отрицаний). Формула алгебры высказываний, представляющая собой сумму произведений простых высказываний (или их отрицаний).

Законы алгебры высказываний. Исходя из вышеизложенного можно сформулировать несколько законов, отражающих основные соотношения булевой алгебры. Наиболее важные из них рассматриваются ниже.