Логико-вероятностный метод

В логико-вероятностных методах (ЛВМ) исходная постановка задачи и построение модели функционирования исследуемого системного объекта или процесса осуществляется структурными и аналитическими средствами математической логики, а расчет показателей свойств надежности, живучести и безопасности выполняется средствами теории вероятностей.

ЛВМ являются методологией анализа структурно-сложных систем, решения системных задач организованной сложности, оценки и анализа надежности, безопасности и риска технических систем. ЛВМ удобны для исходной формализованной постановки задач в форме структурного описания исследуемых свойств функционирования сложных и высокоразмерных систем. В ЛВМ разработаны процедуры преобразования исходных структурных моделей в искомые расчетные математические модели, что позволяет выполнить их алгоритмизацию и реализацию на ЭВМ.

Основоположником научно-технического аппарата ЛВМ и прикладных аспектов их применения, а также создателем и руководителем научной школы является профессорРябинин И.А..

Общий логико-вероятностный метод

Необходимость распространения ЛВМ на немонотонные процессы привела к созданию общего логико-вероятностного метода (ОЛВМ). В ОЛВМ расчета надежности аппарат математической логики используется для первичного графического и аналитического описания условий реализации функций отдельными и группами элементов в проектируемой системе, а методы теории вероятностей и комбинаторики применяются для количественной оценки безотказности и/или опасности функционирования проектируемой системы в целом. Для использования ОЛВМ должны задаваться специальные структурные схемы функциональной целостности исследуемых систем, логические критерии их функционирования, вероятностные и другие параметры элементов.

В основе постановки и решения всех задач моделирования и расчета надежности систем с помощью ОЛВМ лежит так называемый событийно-логический подход. Этот подход предусматривает последовательное выполнение следующих четырех основных этапов ОЛВМ:

• этап структурно-логической постановки задачи;

• этап логического моделирования;

• этап вероятностного моделирования;

• этап выполнения расчетов показателей надежности.

Модель надежности системы - математическая модель, устанавливающая связь между показателями надежности системы, характеристиками надежности элементов, его структуры и параметрами ее процесса функционирования.  Модель отказа - математическое описание физических и (или) химических процессов, составляющих механизм отказа.  Модели, построение которых позволит раскрыть процессы распределения отказов и даст возможность оценить надежность систем на стадии проектирования, эксплуатации, должны учитывать степень опасности, то есть возможность сравнения с нормами надежности. 

распределения:

-Распределение Пуассона (для дискретных случайных величин).

-Экспоненциальное распределение 

-Нормальное распределение (закон Гаусса)

-Распределение Вейбулла (для непрерывных случайных величин)

-Биномиальное распределение - распределение Бернулли

11) Быстрое преобразование Фурье. Кратномасштабный вейвлет-анализ. Преобразование Гильберта-Хуанга. Функциональные ряды и полиномы Вольтерры

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами ω). Пример одной из таких функций S(t), состоящей из гармоник С_i(t), приведен на рис. 1.

Понятия «изобразить в частотной области некую функцию от времени» и «нарисовать спектр этой функции» – равнозначны. Если скользнуть по рис. 1 взглядом по горизонтали слева направо, то свершится переход от какой-либо функции времени к ее спектру – благодаря «магическому стеклу» ПФ. А нижняя часть рисунка есть иллюстрация одного из основных принципов ПФ – спектр суммарной функции времени равен сумме спектров ее гармонических составляющих.

Неоспоримым достоинством ПФ является его гибкость – преобразование может использоваться как для непрерывных функций времени, так и для дискретных. В последнем случае оно называется дискретным ПФ – ДПФ.

Формулы преобразований

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Обозначения:

•  — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

•  — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами  , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

•  —   комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

•  — обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

•  — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

•  — индекс частоты. Частота k-го сигнала равна  , где   — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - это алгоритм вычисления преобразования Фурье для дискретного случая. В отличие от простейшего алгоритма, который имеет сложность порядка O(N²), БПФ имеет сложность всего лишь O(Nlog₂N). 

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

1. Необходимо разделить сумму (1) из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.

2. Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2. Рассмотрим случай прореживания по времени.

Вейвлет преобразование –

Вейвлетное преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье. Термин "вейвлет" (wavelet) в переводе с английского означает "маленькая (короткая) волна". Вейвлеты - это обобщенное название

В практике передачи информации часто требуется представить сигнал в виде совокупности его последовательных приближений. Например, при просмотре и передаче изображений с выборкой из некоторой базы данных можно сначала передать грубую его версию, а затем (при необходимости) последовательно ее уточнять. При сжатии изображений часто без потери качества можно убирать из изображения незначимые мелкомасштабные детали.

Произвольный информационный сигнал обычно рассматривается в виде суммы разнотипных составляющих: региональной функции тренда, циклических компонент с определенным периодом повторения, локальных особенностей (аномалий) разного порядка и флюктуаций (шумов) вокруг всех вышеперечисленных составляющих сигнала. Инструментом разделения (декомпозиции) сигналов на такие составляющие, анализа их порядка и реконструкции сигналов из определенных составляющих (или с исключением определенных составляющих, например шумов или малозначимых деталей) является кратномасштабный (многомасштабный) анализ (КМА).