4.5. Идеальное интегрирующее звено

(Слайд 21)

Звено описывается уравнением

. (4.24)

В операторной форме

. (4.25)

Или в другой форме записи , откуда и получилось название звена. В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной или скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине звена.

Передаточная функция звена

. (4.26)

Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которых будет рассмотрена ниже. Идеальным будет считаться такое звено, у которого можно пренебречь влиянием собственных переходных процессов.

(Слайд 22)

Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 4.11. Наиболее часто в качестве интегрирующего звена используется операционный усилитель в режиме интегрирования (рис. 4.11, а). Интегрирующим звеном является также обычный гидравлический демпфер (рис. 4.11, б). Входной величиной является здесь сила F, действующая на поршень, а выходной – перемещение поршня x.

(Слайд 23)

Переходная функция идеального интегрирующего звена при х₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях

(4.27)

и функция веса

. (4.28)

Рис. 4.11. Идеальные интегрирующие звенья

(Слайд 24)

Временные характеристики изображены на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) идеального интегрирующего звена

(Слайд 25)

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны

; (4.29)

;  = - 90 при  > 0;  = + 90 при  < 0. (4.30)

(Слайд 26)

Частотные характеристики изображены на рис. 4.13

Амплитудная характеристика показывает, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем меньше его частота. При  = 0 модуль , а при , . Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью оси мнимых.

Рис. 4.13. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального интегрирующего звена

Построение ЛАХ выполняется по выражению

. (4.31)

Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза _ср = k. ЛФХ представляет собой прямую  = – 90, параллельную оси частот.

4.6. Инерционное интегрирующее звено

(Слайд 27)

Звено описывается дифференциальным уравнением:

(4.32)

или

. (4.33)

Передаточная функция звена

. (4.34)

Примером такого звена является двигатель постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать напряжение на якоре, а в качестве выходной – угол поворота вала двигателя.

Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух звеньев, включенных последовательно, – идеального интегрирующего и апериодического звена первого порядка.

(Слайд 28)

Для нахождения переходной характеристики удобно передаточную функцию представить в виде суммы

, (4.35)

что позволяет представить решение дифференциального уравнения в виде суммы решения для идеального интегрирующего звена и решения для апериодического звена первого порядка, которые были рассмотрены ранее. В результате получаем переходную функцию звена при х₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях

(4.36)

и функцию веса

. (4.37)

(Слайд 29)

Временные характеристики изображены на рис. 4.14. На характеристиках изображены построения, с помощью которых можно по экспериментальной характеристике определить параметры звена.

Рис. 4.14. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) инерционного интегрирующего звена

(Слайд 30)

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза равны соответственно

; (4.38)

(4.39)

(Слайд 31)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики изображены на рис. 4.15. Из характеристик видно, что звено также пропускает сигналы тем сильнее, чем меньше их частота. В отличие от предыдущего звена фазовый сдвиг равен – 90 только на очень низких частотах. С ростом частоты фазовый сдвиг при .

Рис. 4.15. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) инерционного интегрирующего звена

Построение ЛАХ выполняется по выражению

. (4.40)

(Слайд 32)

Сначала проводится вертикальная линия (рис. 4.16), соответствующая сопрягающей частоте  = 1/T. При частотах, меньших, чем сопрягающая, можно приближенно положить .

Это будет аналогичная предыдущему звену прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, имеющая частоту среза _ср = k. Прямую можно провести в области малых частот до сопрягающей частоты (прямая а–b).

Правее сопрягающей частоты, то есть при частотах  > 1/T, в выражение (4.40), можно пренебречь единицей по сравнению с . Поэтому вместо (4.40) можно принять приближенное выражение

. (4.41)

Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек. Поэтому правее точки b нужно провести прямую с наклоном 40 дБ/дек (прямая b–c). Ломанная прямая а–b–c представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет иметь наибольшее отклонение от асимптотической в точке b, то есть при сопрягающей частоте. Ошибка в этой точке будет составлять 3 дБ, то есть в линейном масштабе ошибка амплитуды будет в раз меньше. По мере удаления от сопрягающей частоты влево и вправо действительная ЛАХ будет сливаться с асимптотами, то есть прямыми а–b и b–с.

Рис. 4.16. ЛАХ и ЛФХ инерционного интегрирующего звена

ЛФХ строится суммированием постоянного фазового сдвига ₁ = – 90 и переменного фазового сдвига ₂ = – аrctg Т. При сопрягающей частоте имеем ₂ = – 45 и  = ₁ + ₂ = – 135.

Из логарифмических характеристик видно, что звено приближается к идеальному интегрирующему звену при частотах, меньших сопрягающей, и тем точнее, чем меньше рабочая частота по сравнению с сопрягающей.