Лекция 5. Оптимальный портфель осторожного инвестора.

Применим теорему множителях Лагранжа к решению задачи составления портфеля для осторожного инвестора при разрешении взятия ценных бумаг в долг без покрытия.

5.1. Запишем задачу составления оптимального портфеля в стандартной форме задачи нелинейного программирования:

при ограничениях

Так как у нас два равенства, то и множителей Лагранжа будет два, таким образом:

Рассчитаем градиенты функций - ограничений к целевой функции:

По теореме и должны быть линейно - независимыми, предположим противное, то есть, что существует такое k, что выполняется равенство:

или в скалярной форме:

Таким образом m₁=m₂=...=m_n, следовательно для линейной независимости необходимо, чтобы эффективности хотя бы двух видов ценных бумаг отличались друг от друга. Очевидно, что это общий случай, который будем предполагать выполненным.

Тогда из теоремы о множителях Лагранжа с учетом ограничений получаем систему из n+2 уравнений с n+2 неизвестными , , x^*:

(39)

Из первого уравнения получаем

(40)

,

подставляя, которое во второе уравнение имеем:

(41)

или

(42)

Аналогично преобразуем третье уравнение системы (39) :

Введем обозначения:

Тогда наша система запишется в виде:

Определитель этой системы отличен от нуля в силу леммы 2 из главы 4, следовательно она имеет единственное решение .

5.2.Алгоритм расчета оптимального портфеля.

1. Рассчитываем коэффициенты .

2. Составляем систему линейных уравнений (30)-(31) относительно , .

3. Решаем систему (41), (42) и находим .

4. Подставляем найденные в формулу (40) и находим вектор x^*.

5. Рассчитываем вариацию портфеля:

и среднеквадратичное отклонение:

В случае, когда портфель ценных бумаг содержит только независимые ценные бумаги формулы для коэффициентов могут быть упрощения.

Действительно, так как V_ij=0, если i j, то матрица V имеет диагональный вид с элементами и соответственно:

Поэтому формулы для коэффициентов имеют вид:

5.3.Свойства оптимального портфеля.

Теорема1. (Необходимое условие взятия в долг).

Для составления оптимального портфеля осторожного инвестора с эффективностью больше, чем максимальная эффективность всех входящих в него ценных бумаг необходимо взятие некоторых из них в долг.

Доказательство:

Пусть

и

Нужно доказать, что существует , такое, что

Предположим противное, то есть, что для любого

Тогда,

Следовательно,

,

что противоречит предположению и доказывает теорему.

Теорема доказана.

Замечание3. Предыдущее условие является необходимым, но не достаточным условием, а именно, при формировании некоторых портфелей с эффективностью меньше, чем максимальная все равно может иметь место взятие ценных бумаг в долг, но уже с целью уменьшения риска.

Теорема 2 (Зависимость риска от эффективности).

С увеличением эффективности портфеля риск увеличивается, причем если , то и риск .

Доказательство:

Нужно доказать, что

Рассчитаем зависимость риска от эффективности. Для этого решим систему уравнений:

(43)

Так как решение линейной системы уравнений от линейно входящих параметров зависит линейно, то

(44)

где - некоторые числа.

Подставим соотношения (44) в систему (43), приведем подобные и приравняем выражения слева и справа.

Получаются следующие системы уравнений относительно и :

(45)

(46)

Решим систему (46)

Введем обозначение:

,

тогда

Из равенств (44) получаем:

Рассчитываем теперь риск портфеля:

вспоминая, что

получим,

Подставим оценки для и и получим:

,

где

Таким образом мы получили:

и следовательно

,

что и требовалось доказать.

Теорема доказана.