3.2.Задача составления оптимального портфеля для рискового инвестора.

Как отмечалось ранее, что такой инвестор готов идти на некоторый фиксированный уровень риска V , добиваясь при этом максимальной эффективности. Математически это приводит к следующей задаче нелинейного программирования:

Если в этой задаче опустить условие не отрицательности (x0), то задача допускает точное решение. При этом некоторые x могут быть отрицательными. Соответствующие ценные бумаги должны быть взяты в долг. Решение этой задачи и анализ дан в главе 6. С условием не отрицательности задача численно проанализирована в главе 10.

3.3.Задача составления оптимального портфеля для осторожного инвестора.

Осторожный инвестор готов ограничиться заранее заданной эффективностью портфеля , но при этом добивается минимального риска:

Так как целевая функция (7) является квадратичной, а ограничения линейны, то получим задачу квадратичного программирования, которая решается симплекс-методом. Впервые задачу составления оптимального портфеля ценных бумаг именно в таком виде поставил Г.Марковиц в 1952г в статье с названием «Выбор портфеля», и которая стала началом нового этапа развития финансовой математики.

3.4. Согласованный портфель ценных бумаг

Для того, чтобы составить согласованные портфели ценных бумаг необходимо критерии (15) и (16) объединить в один критерий, то есть задачу векторной оптимизации преобразовать в задачу нелинейного программирования. Рассмотрим два различных способа, а именно мультипликативный и аддитивный способы преобразования.

Мультипликативное сворачивание может быть определено по-разному и приводит в простейшем случае к следующей задаче нелинейного программирования:

(23)

Аддитивное сворачивание приводит в общем случае к следующей задаче квадратичного программирования:

(24)

Здесь коэффициенты k₁(k₁ 0) и k₂(k₂>0) характеризуют отношение инвестора к риску и доходности. Очевидно, что решение этой задачи зависит, на самом деле, от коэффициента относительного предпочтения k=k /k и целевая функция в задаче (10) может быть записана в виде:

Впервые эта функция полезности введена в рассмотрение М.Рубинштейном [5].

3.5. Комбинированный портфель ценных бумаг.

Пусть на рынке имеются наряду с рисковыми ценными бумагами и безрисковые ценные бумаги. Под безрисковыми ценными бумагами будем понимать государственные ценные бумаги, банковские депозиты(надежных банков), малорисковые бумаги солидных компаний. В стандартную схему оптимального портфеля такие бумаги не укладываются, так как при стандартном учете с нулевым риском матрица ковариации V будет особой, обратная к ней матрица не будет существовать, а это необходимо для решения соответствующих задач.

Задача распределения капитала между рисковыми и безрисковыми ценными бумагами называется задачей составления комбинированного портфеля.

Предположим, что на рынке имеется один вид безрисковых ценных бумаг (очевидно, что это не нарушает общность рассмотрения) с эффективностью R₀ и n видов рисковых ценных бумаг с эффективностями R_i, i=1,…,n и с соответствующими характеристиками ( , , ). Пусть x₀ - доля капитала, которая пойдет на покупку безрисковых ценных бумаг.

Эффективность комбинированного портфеля считается по формуле:

Задача составления комбинированного портфеля, например, для осторожного инвестора ставится так, - требуется распределить капитал на покупку ценных бумаг, чтобы комбинированный портфель имел заданную эффективность и минимальный риск рисковой части портфеля.

М

(25)

атематически эта задача имеет вид:

при условиях:

Заметим, что комбинированный портфель составляется только в том случае, когда его эффективность больше, чем эффективность безрисковой части, то есть

Комбинированный портфель ценных бумаг в таком виде впервые предложил в 1958 г. Д.Тобин. Как будет видно позднее, включение в портфель безрисковой ценной бумаги придает комбинированному портфелю особые свойства, в частности, структура рисковой части портфеля оказывается независимой от склонности инвестора к риску.

На основе этой модели У.Шарп построил в 1964 теорию равновесия на финансовом рынке (эта теория известна под сокращенным названием САРМ) при следующих дополнительных предположениях:

1. Все инвесторы полностью информированы о характеристиках ценных бумаг;

2. Все инвесторы умеют вычислять структуру оптимального портфеля.

Шарп показал, что при этих условиях распределение капитала на всем рынке совпадает со структурой оптимального портфеля, поэтому составление оптимального портфеля становится для рядовых инвесторов простой задачей, - достаточно посмотреть, как капитал распределен на рынке. Поскольку даже у достаточно крупного инвестора может не хватить денег на покупку всех требуемых видов ценных бумаг, то теория равновесия Шарпа способствовала возникновению большего числа и бурному росту инвестиционных фондов.