2.4.Портфели ценных бумаг и их характеристики.

Пусть на рынке действуют n различных ценных бумаг с эффективностями m_i и ковариациями, , где i,j=1,…,n. Предположим, что инвестор покупает ценные бумаги всех видов, причем на i-ый в

(8)

ид ценных бумаг тратится x_i доля капитала. По определению:

Эффективность портфеля будет считаться по формуле:

Тогда математическое ожидание эффективности портфеля равно:

,

то есть

(9)

Вычислим риск портфеля:

(10)

(11)

Портфель ценных бумаг полностью описывается формулами (8)-(11).

Запишем формулы компактно. Для этого введем в рассмотрение векторы x, m, e и матрицу V, следующим образом:

,

где i=1,…,n; j=1,…,n.

Теперь формулы можно переписать в виде:

(12)

Обычно в портфель ценных бумаг стараются набирать независимые ценные бумаги, потому что в этом случае колебания разных видов ценных бумаг, вообще говоря, будут взаимно погашаться, риск будет меньше. Формулы (10, 11) для независимых ценных бумаг могут быть упрощены. Так как ценные бумаги независимы, то =0 при i j и , то

2.5.Равномерный портфель.

Равномерный портфель (портфель с равномерным распределением капитала) означает распределение капитала поровну по всем видам ценных бумаг. То есть:

Тогда

Т.о. эффективность портфеля – это среднее арифметическое от эффективностей всех ценных бумаг.

Предположим, что рассматриваются ценные бумаги, которые независимы, риск портфеля:

Отсюда

Теорема 1.

Риск портфеля - стремится к нулю, когда число независимых ценных бумаг - n стремится к бесконечности.

Доказательство:

Пусть

,

где i=1,…,n, тогда

Если предположить, что не зависит от n в этой формуле и устремить ,то по теореме «о двух милиционерах»

Теорема доказана.

Из этого утверждения следует основное правило инвестора:

Для уменьшения риска портфеля необходимо покупать, как можно больше разных независимых видов ценных бумаг, то есть проводить диверсификацию.

Лекция 3. Математические модели оптимального портфеля ценных бумаг.

Инвесторы, как и все люди обладают разной склонностью к риску и делятся на:

1. Равнодушных к риску, считающих что доходность и риск портфеля могут расти соразмерно;

2. Предрасположенных к риску, которые согласны на некоторый заданный уровень риска, но желают максимально возможной при этом доходности портфеля;

3. Осторожных, не расположенных к риску, для которых на первом месте снижение риска и готовых для этого удовольствоваться заранее заданной эффективность портфеля.

В зависимости от склонности инвестора к риску нужно рассматривать различные постановки задач определения оптимального портфеля.

3.1.Общая постановка задачи оптимального портфеля.

Общая постановка задачи оптимального портфеля - необходимо так распределить капитал на покупку ценных бумаг, чтобы получить максимальную эффективность при минимальном риске.

Математически это приводит к следующей задаче:

Здесь условие (18) запрещает операцию взятия ценных бумаг в долг или, иначе - покупки «без покрытия» (операция «Short Sale»). На многих биржах запрета на продажу в долг нет, в этом случае ограничение (18) отсутствует. Условие (17) означает, что капитал, выделенный на покупку ценных бумаг, расходуется полностью.

Задачи (15)-(18) является задачей векторной оптимизации, решения которой, как правило, не существует, что легко увидеть, рассматривая простейшие примеры. Имеются различные способы регуляризации этой задачи (17). Мы рассмотрим несколько способов сведения к задаче нелинейного программирования:

1. Сворачивание векторного критерия качества путем использования функции полезности f(m ,  ), получаемой аддитивным или мультипликативным сворачиванием. Другой способ построения функции полезности заключается в использовании теории полезности Неймана - Моргенштерна [4].

2. Фиксирование уровня либо эффективности, либо риска. Что именно фиксировать, зависит от характера инвестора.