9.4.Вычисление матрицы ковариации с помощью ведущего фактора.

Вычисление матрицы ковариации с использованием метода ведущего фактора опирается на ряд гипотез.

Г

(79)

ипотеза1. Предположим, что эффективность бумаги R_i может быть представлена в виде:

,

где F - некоторая случайная величина;

a_i b_i - за терминированные числа;

e

(80)

_i - случайная величина, причем:

Замечание1. В силу (77) случайная величина F - называется ведущим фактором. Равенство (78) показывает, что все случайные колебания эффективности R_i определяются ведущим фактором F, а случайные отклонения от прямой взаимно некоррелированны и имеют нулевые математические ожидания.

Определение1. Взвешенная, с учетом капитала эмитента, сумма эффективностей всех рисковых ценных бумаг, продающихся на данном рынке (бирже), называют эффективностью данного рынка (бирже).

Рассмотрим какой-либо рынок и обозначим через R_рынка - эффективность этого рынка.

Гипотеза2. Ведущим фактором для эффективностей всех ценных бумаг, продающихся на данном рынке является эффективностью данного рынка, то есть F = R_рынка.

И

(81)

з гипотезы2 следует,

Из (79) следует,

Итак,

(82)

.

В

(83)

ычитая (81) из (80) получаем,

Откуда, получаем

При выборе (82) и (83) учтена независимость случайных величин:

Алгоритм расчета.

1. Рассчитывается эффективность ценных бумаг , продающихся на данном рынке, по формулам (2), с учетом информации за последние 5 лет. Промежуток между покупкой и продажей, при этом, берется равным 1 кварталу, чтобы учесть дивиденды.

2. Рассчитывается эффективность всего рынка ценных бумаг , суммированием эффективностей с учетов капиталов, соответствующих эмитентов.

3. Используя (81) и метод наименьших квадратов, определяются коэффициенты .

4. Рассчитывается , как значение целевой функции в методе наименьших квадратов (см. п.3), при оптимальных .

5. По формулам (82) и (83) рассчитываются элементы матрицы ковариации.

Пусть на рынке наряду с рискованными ценными бумагами продается и безрисковая ценная бумага с эффективностью . В этом случае вместо используют (бета вклада) и рассчитывают величину:

называемую "альфа вклада".

Для каждой ценной бумаги, входящей в индекс SP500 в США регулярно публикуются соответствующие альфа, бета, "приспособленные бета" (линейно зависит от бета), а также величин

,

характеризующих долю рынка для данной ценной бумаги, вносимую риском рынка в целом.

Заключение.

Основным недостатком всех нами изученных моделей является то, что:

1. Процесс составления оптимального портфеля рассматривается как одноактная операция - покупка/продажа, в то время как в действительности это динамический процесс, разворачивающийся во времени.

2. Предполагается, что рынок находится в стационарном равновесном состоянии, (то есть цены, эффективности – стабильны). Однако на реальном рынке ценных бумаг периоды стабильности (равновесия) сменяются периодами нестабильности.

В последние годы были предложены модели, которые пытались учесть не стационарность рынка ценных бумаг.

Первая из них основывалась на идее Бошелье Л., который считал, что в периоды нестабильности цены могут меняться в любую сторону с равной вероятностью, то есть, изменяются по нормальному закону, и представляют собой случайное блуждание.

На основе этой модели были составлены стохастические дифференциальные уравнения, которые позволили получить ряд результатов.

Например, рассчитать так называемую справедливую цену опциона. Однако, и эта теория подверглась критике, так как было замечено, что рынок ценных бумаг в некоторые моменты своего развития ведет себя как кибернетическая система с обратной связью, основанной на предпочтениях инвестора (теория рефлективности Дж. Сороса).

Все математики и экономисты, построившие теорию оптимального портфеля ценных бумаг (начиная с Марковица и кончая Самуэльсом, кроме рано умерших Бошелье и Блока), получили Нобелевские премии по экономике.

Теория оптимального портфеля ценных бумаг и сопутствующие ей теории считаются самым большим достижением финансовой математики в 20 веке.