Лекция 8. Комбинированный портфель.

Оптимальный комбинированный портфель рассчитывается в случае, когда за счет одновременной покупки безрисковой и рисковых ценных бумаг хотят добиться новых инвестиционных качеств портфеля.

8.1. Запишем задачу составления комбинированного портфеля в виде стандартной задачи нелинейного программирования.

Предположим, что решено купить один вид безрисковой ценной бумаги с эффективностью r %-годовых, и n-видов ценных бумаг R_i с характеристиками, m_i, _i, V_ij. Обозначим долю капитала, идущую на покупку безрисковой ценной бумаги x₀, и соответственно, x₁, x₂,…,x_n - доли, идущие на покупку рисковых ценных бумаг. Тогда вектор распределения всех долей имеет вид:

При расчете риска комбинированного портфеля учитываем лишь риски рисковых ценных бумаг и получаем для осторожного инвестора целевую функцию:

Где множество U определяется следующими ограничениями:

Причем к этим ограничением могут добавляться еще ограничения , но в этом случае задача не допускает точного решения, и поэтому в данной главе ограничения не отрицательности не учитываются.

В постановке задачи из экономических соображений следует m_порт>r₀, причем величина m_порт - r₀ – называется премией за риск.

8.2. Решение. Рассчитаем , и :

, ,

Вектора и - линейно-независимы, так как обычно существует такое то , что .

Применяя правило множителей Лагранжа, получаем:

или иначе

Используя, эти уравнения и уравнения ограничений получаем систему уравнений:

И (64) з второго уравнения системы получаем равенство

,

которое подставляем в первое уравнение

(65)

Из четвертого уравнения имеем

(66)

,

подставляя которое в третье уравнение получаем

,

то есть

С учетом формулы для имеем

Выносим за скалярное произведение

(67)

Откуда следует:

(68)

Так как

,

то, окончательно

(69)

Алгоритм расчета.

1. Задаются характеристики безрисковой и рисковых ценных бумаг. Фиксируется требуемая для инвестора эффективность комбинированного портфеля.

2. Рассчитываются коэффициенты , , .

3. Вычисляются и по формулам (69) и (64).

4. Вычисляется x^* по формуле (65).

5. Вычисляется по формуле (66).

6. Находится риск комбинированного портфеля.

8.3. Некоторые свойства оптимального

комбинированного портфеля.

Теорема 1.

Распределение долей, идущих на рисковые ценные бумаги, пропорционально премии за риск, то есть существует такой вектор y, не зависящий от m_порт, что

Доказательство:

Обозначим

и перепишем (67) уравнение в виде:

Откуда

Подставим в формулу (65). Получим:

(70)

Обозначим

(71)

Тогда формула (70) запишется в виде:

Теорема доказана.

Теорема 2.

Риск оптимального комбинированного портфеля ценных бумаг линейно зависит от её эффективности.

Доказательство:

Рассмотрим риск и вариацию портфеля:

,

где

,

то есть

(72)

Теорема доказана.

Следствие 1. премия за риск пропорциональна риску. Действительно, из (72) следует:

Определение 1.

Отношение долей капитала, идущих на покупку рисковых бумаг к сумме всех долей

,

называется структурой рисковой части портфеля и показывает отношение распределения долей на рисковые ценные бумаги ко всей сумме денег, идущих на покупку ценных бумаг.

Теорема 3.

Структура портфеля не зависит от склонности инвестора к риску.

Доказательство:

То образом, не зависит от , а, следовательно, согласно теореме 3 не зависит и от .

Теорема доказана.