1.2 Наибольший общий делитель

Два числа называют взаимно простыми, если у них нет общих множителей, кроме 1. Иными словами, если наибольший общий делитель чисел a и n равен 1, эти числа называют взаимно простыми. Это записывается следующим образом:

НОД(a,n)=1

Например, числа 15 и 28 взаимно просты. Числа 15 и 27 не являются взаимно простыми, а числа 13 и 500 – являются. Простое число взаимно просто со всеми другими числами, кроме чисел, кратных данному простому числу.

Один из способов вычисления наибольшего общего делителя двух чисел – использование алгоритма Евклида.

Математически это записывается следующим образом:

Для любых целых n1 и n2 таких, что n2≠0,

НОД(n1,n2)=НОД(n2,R_n2(n1)) , где R_n2(n1)-остаток от деления n1 на n2 или по-другому n1 MOD n2.

Пример

НОД(54,30)= НОД(24,30)= НОД(6,24)= НОД(0,6)=6

НОД(156,117)= НОД(39,117)= НОД(0,39)=39

1.3 Модулярная арифметика

Пример арифметики по модулю 12

(10+13)MOD 12= 23 MOD 12=11 MOD12

Другой способ записать это, сказав, что 23 и 11 равны по модулю 12

23 ≡ 11 (MOD 12)

В общем случае, α ≡ β (MOD n)

если α = β +kn при некотором целом k.

Если α не отрицательно, а β находится между 0 и n, можно рассматривать β как остаток от деления α на n. Иногда β называется вычетом по модулю n.

Множество целых чисел от 0 до n-1 образуют так называемую полную систему вычетов по модулю n. Это означает, что для любого целого числа α его вычет по модулю n равен некоторому числу от 0 до n-1. Операция α MOD n обозначает вычет от α по модулю n.

Пример

5 MOD 3=2

Модулярная арифметика во многом подобна обычной арифметике. Так, она тоже коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна. Приведение каждого промежуточного результата по модулю n дает тот же результат, что и выполнение всего вычисления с последующим приведением его по модулю n.

(a+b) MOD n =((a MOD n) + (b MOD n ))MOD n

(a-b) MOD n =((a MOD n) - (b MOD n ))MOD n

(a*b) MOD n =((a MOD n) *(b MOD n ))MOD n

(a*(b+c)) MOD n =((a*b MOD n) +(a*c MOD n ))MOD n

Обратные значения по модулю

Произведение таких чисел равно 1.

Если (a*a^-1 ) MOD n =1 , тогда a^-1 - обратное значение для a по модулю n.

В общем случае для a, если a и n взаимно простые числа, имеется одно обратное значение a^-1 Если n простое число, то любое число от 1 до n-1 взаимно просто с n и имеет только одно обратное значение по модулю n.

Пример

Если a=3 , то a^-1=5 по модулю 7 , т.к. (a*a^-1 ) MOD n = (3*5 ) MOD 7=1

Образующая(или примитивный корень)

Если P простое число и G меньше чем P, то G называется образующей по модулю P, если для каждого числа β от 1 до P-1 существует такое число a, что (G^a) MOD _P= β

Иногда G называют также примитивным корнем по модулю P.

Пример, если P=11, то 2 – это образующая по модулю 11.

(2 ¹⁰) MOD 11 = (1024) MOD 11=1

(2 ¹) MOD 11 = (2) MOD 11=2

(2 ⁸) MOD 11 = (256) MOD 11=3

(2 ²) MOD 11 = (4) MOD 11=4

(2 ⁴) MOD 11 = (16) MOD 11=5

(2 ⁹) MOD 11 = (512) MOD 11=6

(2 ⁷) MOD 11 = (128) MOD 11=7

(2 ³) MOD 11 = (8) MOD 11=8

(2 ⁶) MOD 11 = (64) MOD 11=9

(2 ⁵) MOD 11 = (32) MOD 11=10

Каждое число от 1 до 10 может быть представлено как (2 ^a) MOD 11

Для значения P =11, образующими являются числа 2, 6, 7 и 8. Другие числа не являются образующими. Например, образующей не является число 3, поскольку не существует решения для (3 ^a) MOD 11=2

В общем случае, установить, является ли число образующей, нелегко. Задача упрощается, если известно разложение P-1 на множители. Пусть q₁, q₂, …q_n- это различные простые множители P-1. Чтобы проверить, является ли число G образующей по модулю P, вычислите:

( G^(P-1)/Q) MOD p

для всех значений Q = q₁, q₂, …q_n

Если это число = 1 для некоторого значения Q, то G не является образующей. Если для всех значений q₁, q₂, …q_n рассчитанное значение не = 1, то G образующая.

Пример

Пусть P=11. Простые множители P-1 т.е.10 равны 2 и 5. Чтобы определить, что число 2 – образующая, вычислим:

( 2^(11-1)/5) MOD 11=4

( 2^(11-1)/2) MOD 11=10

Ни один из ответов не равен 1, поэтому 2 – это образующая.

Теперь проверим, является ли образующей число 3:

( 3^(11-1)/5) MOD 11=9

( 3^(11-1)/2) MOD 11=1

Следовательно, 3 – это не образующая.

Для нахождения образующей – наугад выбирайте число от 1 до P-1 и проверяйте, не является ли оно образующей.