3.2. Реализация граничных условий.
Краевые условия первого рода.
Для краевых условий первого рода значения функций на границах известны и равны:
(3.5)
Заметим, что в случае граничных условий первого рода для получения решения во внутренних точках не требуется знания значений функции в угловых точках.
Краевые условия второго рода.
Для граничных условий второго рода значения функций на границе не известны и подлежат определению. Рассмотрим, например, ГУ на левой границе: . Запишем разностный аналог этого граничного условия:
.
Привлекая уравнение (3.2), записанного для i = 0, получим
.
Исключая
из двух последних уравнений значение
функции в узле
приходим к уравнению для нахождения
функции на левой границе:
(3.6
а)
Аналогично получаются уравнения для нахождения функции на правой, нижней и верхней границах:
(3.6
б)
(3.6
в)
(3.6
г)
Как видно из (3.6) для краевых условий второго рода требуется знание значений функции в угловых точках. Уравнения для нахождения функции в узлах (0,0), (0,M), (N,0), (N,M) имеют вид:
3.3. Особенности построения разностной схемы для уравнения, в цилиндрической системе координат.
Рассмотрим следующее эллиптическое уравнение, записанное в цилиндрической системе координат:
. (3.7)
Записывая разностные соотношения по шаблону, показанного на рис.10, получим
.
Рис.10. Шаблон для эллиптического уравнения
в цилиндрической системы координат.
Тогда разностный аналог для уравнения (3.7) принимает вид:
, (3.8)
где
;
.
;
;
;
На
оси симметрии, т.е. при
,
в уравнении (3.7) имеет место особенность,
раскрывая которую по правилу Лопиталя,
получим
(3.9)
Используя
тот факт, что на оси симметрии выполняется
условие симметрии
,
разностный аналог уравнения (3.9) принимает
вид:
, (3.10)
где
;
;
.
Таким образом для нахождения решения на оси симметрии всегда используется уравнение (3.10):
На правой границе:
На
нижней границе:
На верхней границе:
Значение функции в угловых точках вычисляются по формулам:
Если же левая граница не является осью симметрии, то для нахождения функции в левой нижней и в левой верхней точке используются уравнения:
,
а на самой границе:
3.4. Особенности построения разностной схемы для уравнения, в полярной системе координат.
Рассмотрим эллиптическое уравнение в полярной системе координат:
; (3.11)
Разностный аналог уравнения (3.11) имеет вид:
(3.12)
где
; .
;
;
;
В случае краевых условий второго рода значения функций на границах находятся из следующих уравнений:
для левой границы,
для правой границы,
для нижней границы,
для верхней границы,
В угловых точках значения находятся из уравнений:
3.5. Пример решения гиперболического уравнения методом конечных разностей. Решить краевую задачу
. (3.13)
Граничные условия:
Решение
уравнение (3.1) будем находить с помощью
разностной схемы (3.3) - (3.5). Область решения
покрывается разностной сеткой из NM=400
точек, координаты которых будут
вычисляться по формулам:
,
,
,
,
где
,
.
В соответствие со схемой (3.3-3.4) функция во внутренних точках области на k+1 итерации будет определяться по формуле:
,
а в граничных точках по формулам:
.
Ниже приведены примеры программ для численного решения поставленной задачи, реализованной для системы Mathcad, и написанной на языке Паскаль.