Содержание
Введение……………………………………………………………………………………………………4
Лабораторная работа №1 РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 5
1.1 Построение разностной схемы 5
1.2 Реализация граничных условий 6
1.3 Особенности построения разностной схемы для уравнения, записанного в цилиндрической системе координат 8
1.4 Пример решения параболического уравнения методом конечных разностей 9
1.4.1 Программа на языке Паскаль 9
1.4.2 Программа для системы Mathcad 13
1.5 Варианты заданий 16
Введение
В ходе изучения дисциплины «Методы математической физики» вы познакомиться с основными уравнениями, описывающими различные физические процессы, и изучить основные методы их решения. Лабораторный практикум по этой дисциплине посвящен численным методам решения задач математической физики. Вам предлагается сделать две лабораторных работы, посвященных соответственно численному решения уравнений параболического и гиперболического типа.
В ходе выполнения лабораторной работы Вы должны написать программу для численного решения поставленной задачи на языке Паскаль или в системе Mathcad. В отчете по лабораторной работе необходимо привести результаты работы программы (результаты расчетов) в соответствии с заданием. Кроме отчета необходимо прислать текст программы, содержащий необходимые комментарии. Программа на языке Turbo Pascal должна быть прислана в виде текстового файла в том виде, в каком вы ее запускали на своем компьютере. Если использовалась система Mathcad, то соответственно необходимо прислать файл в формате Mathcad.
Лабораторная работа №1 РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
1.1 Построение разностной схемы
Требуется
найти решение
параболического уравнения
, (1.1)
на отрезке [a, b]
в течение промежутка времени
при следующих начальных и краевых
условиях.
Известно, что в
начальный момент времени t
= 0 задано
распределение функции
,
а на границах отрезка
задано одно из условий:
-
x=a
x=b
1)
2)
3)
Как видно из уравнения (1.1), его решение зависит от двух переменных: t – времени и x – пространства. Выберем систему координат так, чтобы в ней переменная x менялась вдоль оси абсцисс, а переменная t – вдоль оси ординат (рис. 1).
Рис. 1
Для решения
уравнения (1.1) конечно-разностным методом
построим конечно-разностную сетку,
покрывающую прямоугольник
.
Координаты узлов сетки, образованные
пересечением вертикальных и горизонтальных
отрезков, определяются по формулам
,
,
где
– шаг по пространству,
;
– шаг по времени,
.
Здесь
,
.
Запишем конечно-разностную схему для уравнения (1.1), используя для производных по времени и пространству следующий шаблон (рис. 2):
,
,
тогда
, (1.2)
где
,
.
Здесь
– сеточная функция, соответствующая
значению непрерывной функции
в точке
.
Рис. 2
Из (1.2) видно, что для получения решения на верхнем k+1 временном слое в i-ом узле необходимо знать три значения функции u(x,t) на нижнем k-ом временном слое, а именно, значения в узлах i – 1, i, i + 1.
Полученная
явная разностная схема (1.2) обладает
первым порядком аппроксимации по времени
и вторым порядком по пространству
.
Условие устойчивости разностной схемы
будет иметь вид:
.