3.2 Модели принятия решений в условиях неопределенности и риска

Исходные данные: ООО «Старорусский хлеб» может выпускать хлебобулочные изделия в следующими партиями:

Таблица 3 - Возможное производство

	S1	S2	S3	S4
Min	100	80	120	110
Max	200	170	240	270
Ср.	150	125	180	190

Крупные потребители могут покупать хлебобулочные изделия следующими партиями:

Таблица 4 - Возможная реализация

a1	a2	a3	a4	a5
100	125	150	175	200

Тогда возможные закупки по вариантам производства распределяться следующим образом:

Таблица 5 - Соотношение производства и реализации (Пij)

A	S	S1	S2	S3	S4
		150	125	180	190
a1	100	100	100	100	100
a2	125	125	125	125	125
a3	150	150	125	150	150
a4	175	150	125	175	175
a5	200	150	125	180	190

При заданных объемах производства и потребления возврат будет следующим:

Таблица 6 - Возврат (Bij)

A	S	S1	S2	S3	S4
		150	125	180	190
a1	100	0	0	0	0
a2	125	0	0	0	0
a3	150	0	25	0	0
a4	175	25	50	0	0
a5	200	50	75	20	10

А неудовлетворенный сбыт будет следующим:

Таблица 7 - Неудовлетворенный сбыт (Hij)

A	S	S1	S2	S3	S4
		150	125	180	190
a1	100	50	25	80	90
a2	125	25	0	55	65
a3	150	0	0	30	40
a4	175	0	0	5	15
a5	200	0	0	0	0

Произведем оценивание результатов решения по оценочному функционалу. Для этого зададим оптовые (Ро), розничные (Рр) цены, цену возврата (Рв) и коэффициент потерь (К).

Ро = 900 рублей

Рр = 1500 рублей

Рв = 750 рублей

К = 1,5

Оценочный функционал выражается в денежных единицах. Формула оценочного функционала:

Fij = Пij * (Pp – Po) – Bij * (Po – Pв) – Hij * (Pp – Po) * K

Таблица 8 - Результаты расчетов оценочного функционала по каждому типу производства и реализации.

A	S	S1	S2	S3	S4
		150	125	180	190
a1	100	15000	37500	-12000	-21000
a2	125	52500	75000	25500	16500
a3	150	90000	71250	63000	54000
a4	175	86250	67500	100500	91500
a5	200	82500	63750	105000	112500

Модели принятия решений в условиях риска

При принятии решения в условиях риска используются четыре основных критерия (правила), каждый из которых отображает особый подход к логическому обоснованию выбора решения:

1) критерий Байеса;

2) модальный;

3) максимизации вероятности распределения оценочного функционала;

4) минимума дисперсии оценочного функционала.

Критерий Байеса

Критерий Байеса основывается на концепции «оптимизации в среднем», в соответствии с которой оптимальным является решение, максимизирующее средний «выигрыш» (или минимизирующее средний «проигрыш») ЛПР с учетом заданных вероятностей состояний среды. Сущность критерия состоит в максимизации математического ожидания ОФ при F+ (или минимизации ОФ при F-). Для каждого решения аi определяется «Байесово значение»:

Оптимальным считается такое решение а_o, для которого выполняется:

В(р,а_o)= max В(р,а_i), при F = F⁺ и В(р,аo)= min В(р,а_i), если F = F^-

Т.о. в соответствии с критерием Байеса выбирается решение, имеющее максимальное математическое ожидание, если ОФ выражает «выигрыши», «доходы», и минимальное математическое ожидание, если ОФ выражает потери, затраты и т.п.

Возвращаясь к нашему примеру получаем:

Таблица 9 - Вычисления по критерию Байеса

Ai\Sj	S1	S2	S3	S4	B(ai)
a1	15000,00	37500,00	-12000,00	-21000,00	-2384,81
a2	52500,00	75000,00	25500,00	16500,00	35115,19
a3	90000,00	71250,00	63000,00	54000,00	63947,47
a4	86250,00	67500,00	100500,00	91500,00	87975,95
a5	82500,00	63750,00	105000,00	112500,00	96987,34
Pij	0,12	0,21	0,24	0,44	–

1) Вычисляем байесовы значения ОФ В(р,аi) для всех аi из А :

В (р,а₁)= 0,12*15000+0,21*37500+0,24*(-12000)+0,44*(-21000) = - 2384,81

В (р,а₂)= 0,12*52500+0,21*75000+0,24*25500+0,44*16500 = 35115,19 и т.д.

2) Результаты расчета сведены в графу В(р,аi).

3) Оптимальным по критерию Т.Байеса («байесовским решением») является решение а₅ с математическим ожиданием В(р,а₅)= 96987,34.

Модальный критерий

ЛПР исходит из того, что среда будет находиться в наиболее вероятном состоянии. В этом случае целесообразно рассматривать эффективность наиболее вероятных исходов решений, т.е. тех исходов, которые будут иметь место при наиболее вероятном состоянии среды.

Оптимальным считается решение, которому соответствует максимальное значение ОФ для наиболее вероятной ситуации. Для нашего примера (таблица 10) наиболее вероятна ситуация S₄ с Р₄=0,44. Оптимальным является решение а₅, поскольку для ситуации S₄: Max Fj = 112500

Таблица 10 - Вычисления по модальному критерию

Ai\Sj	S1	S2	S3	S4
a1	15000	37500	-12000	-21000
a2	52500	75000	25500	16500,0
a3	90000	71250,0	63000	54000
a4	86250	67500	100500	91500
a5	82500	63750	105000	112500
Pi	0,12	0,21	0,24	0,44
Max Fj	0	0	0	112500

Критерий максимизации

Пусть значения ОФ выражают прибыль ЛПР. В соответствии с критерием максимизации вероятности распределения оценочного функционала следует принимать решение, которое обеспечивает наибольшую вероятность получения прибыли, не меньшей некоторой наперед заданной величины .

1) ЛПР задается величина :

min min f_ij    max max f_ij

2) Для всех решений аi определяются значения ОФ, удовлетворяющие условию f_ij ≥.

3) вероятности соответствующих условию f_ij ≥ ситуаций S_j суммируются по строкам, соответствующим решениям а_i,

4) Выбирается такое решение a_o, которому соответствует максимальная суммарная вероятность того, что значение оценочного функционала будет не менее  

Введем величину долга  = 90000. Вычислим вероятности P(f _ij>90000):

Для а₁: Р(f_1j>90000) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

а₂: Р(f_2j>90000) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

а₃: р(f_j3>90000) = 0,12 + 0 + 0 + 0 = 0,12

а₄ = 0,67

а₅ = 0,67

Результаты расчетов приведены в таблице 11.

Таблица 11 – Результаты расчетов

Ai\Sj	S1	S2	S3	S4	N(ai)
a1	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
a2	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
a3	0,12	0,00	0,00	0,00	0,12
a4	0,00	0,00	0,24	0,44	0,67
a5	0,00	0,00	0,24	0,44	0,67

Рациональным является решение а₄ и а₅ обеспечивающее получение «выигрыша» не менее  = 90000 с вероятностью 0,67.

Критерий минимума дисперсии

Для каждого решения определяется дисперсия значений оценочного функционала и выбирается то решение, для которого дисперсия минимальна.

Оптимальным считается решение а_o, для которого выполняется D(р,а_o) = min D(р,а_i)

Для рассматриваемого примера величины дисперсий составят:

D(p,а₁) = (0,11*[-2384,81 + 15000]² + 0,21*[35115,19 – 37500]² + 0,24*[-2384,84 + 12000]² + 0,43*[-2384,81 + 21000]²) = 542680402,18

D(p,а₂) = 1948930402,18; D(p,а₃) = 4533644832,96; D(p,а₄) = 8296064062,65; D(p,а₅) = 10251685963,39.

Таблица 12 - Результаты расчетов

Ai\Sj	S1	S2	S3	S4	B(ai)	D(ai)
a1	15000	37500	-12000	-21000	-2384,81	542680402,18
a2	52500	75000	25500	16500	35115,19	1948930402,18
a3	90000	71250	63000	54000	63947,47	4533644832,96
a4	86250	67500	100500	91500	87975,95	8296064062,65
a5	82500	63750	105000	112500	96987,34	10251685963,39
Pi	0,11	0,21	0,24	0,44	–	–

Рациональным является решение а₁, для которого D(p,а₁) = min{D(p,а_i)}= 542680402,18

Модели принятия решений в условиях неопределенности

Неопределенность условий выбора решений означает, что известны лишь возможные ситуации (множество состояний «природы») и ЛПР не может определить априорные вероятности ситуаций.

Наиболее известны четыре критерия принятия решений в условиях неопределенности:

1. Критерий Лапласа;

2. максиминный (минимаксный) критерий Вальда;

3. критерий минимального риска Сэвиджа;

4. критерий оптимизма-пессимизма Гурвица.

Критерий Лапласа

Этот критерий основывается на известном принципе недостаточного обоснования Бернулли- Лапласа (впервые был сформулирован Я.Бернулли). Поскольку вероятности ситуаций не известны, информация, необходимая для вывода о том, что эти вероятности различны, отсутствует (в противном случае эти вероятности можно было бы определить и задачу уже не следовало бы рассматривать как задачу принятия решений в условиях неопределенности)

В соответствии с принципом «недостаточного обоснования» тогда, когда нет оснований считать, что одно из состояний среды из S более вероятным, чем любое другое состояние, их следует считать равновероятными, т.е. вероятности всех состояний оцениваются величиной:

Pj=1/m (j=1,...,m)

где m - число элементов множества S возможных ситуаций.

Таким образом, задача принятия решений в условиях неопределенности сводится к задаче принятия в условиях риска. При этом выбирается решение, дающее наибольший ожидаемый выигрыш при предположении равной вероятности всех ситуаций, т.е. оптимальным считается такое решение а_о, для которого

где 1/m - вероятности состояний s_j, j=1,...,m, определенные в соответствии с принципом «недостаточного обоснования».

Для рассматриваемого примера L(a) будет следующим:

Таблица 13 - Результаты расчетов

ai\sj	S1	S2	S3	S4	L(ai)
a1	15000	37500	-12000	-21000	4875
a2	52500	75000	25500	16500	42375
a3	90000	71250	63000	54000	69562,5
a4	86250	67500	100500	91500	86437,5
a5	82500	63750	105000	112500	90937,5

L (a₁) = 1/4*(15000+37500-12000-21000) = 4875;

L (a₂)= 1/4*(52500+75000+25500+16500)= 42375 и т.д.

Оптимальным по критерию Лапласа является решение а₅.

Критерий Вальда (критерий «крайнего пессимизма»)

Этот критерий является наиболее «осторожным»: ЛПР исходит из того, что наступит «наихудшая» ситуация и выбирает «наилучшую из наихудших» возможностей. Если ОФ выражает «выигрыш» ЛПР, то выбирается решение, дающее

Если ОФ выражает потери ЛПР, решение выбирается исходя из условия

В рассматриваем примере ОФ выражает «выигрыш».

Таблица 14 - ОФ F⁺(выражает выигрыши)

ai\sj	S1	S2	S3	S4	V(a)
a1	15000	37500	-12000	-21000	-21000
a2	52500	75000	25500	16500,0	16500
a3	90000	71250,0	63000	54000	54000
a4	86250	67500	100500	91500	67500
a5	82500	63750	105000	112500	63750

Оптимальным по критерию Вальда является решение a₄, которое в «наихудшей» ситуации S2 обеспечивает получение выигрыша 67500.

Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска)

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, является «пессимистичным», однако пессимизм проявляется не в стремлении избежать минимального проигрыша, а в том, что бы избежать максимальных потерь выигрыша (т.е. минимизировать максимальные риски принимаемого решения).

Согласно Сэвиджу, следует определить риски (потери), вызванные незнанием истинной ситуации, в условиях которой будут осуществляться решения, и минимизировать максимальный риск. Решение выбирается исходя из условия

Для рассматриваемого примера строится матрица рисков (сожалений). Поскольку ОФ принадлежит к классу F⁺, риски определяются в соответствии с выражением:

r_ij= βj – fij= max{fij}-fij.

Таблица 15 - Матрица рисков (сожалений)

Ai\Sj	S1	S2	S3	S4	S(ai)=max Rij
a1	75000	37500	117000	133500	133500
a2	37500	0	79500	96000	96000
a3	0	3750	42000	58500	58500
a4	3750	7500	4500	21000	21000
a5	7500	11250	0	0	11250

Оптимальным по Сэвиджу является решение а₅, гарантирующее величину риска не более 11250.

Критерий Гурвица (критерий оптимизма-пессимизма)

Критерий Гурвица охватывает целый ряд различных подходов к выбору решений: от «крайне пессимистического» до «крайне оптимистического».

При наиболее пессимистическом предположении о состоянии среды решение выбирается исходя из условия , а при наиболее оптимистическом - из условия

Критерий Гурвица устанавливает баланс между этими крайними подходами путем «взвешивания» оптимистического и пессимистического способов поведения посредством введения соответствующих коэффициентов (весов) λ и 1-λ , где 0 < λ<1.

В том случае, когда элементы оценочного функционала F+ характеризуют «прибыль», «доход» и т.п. показатели, выбирается решение, дающее

Если же оценочный функционал определяет потери, затраты и т.п. характеристики, выбирается решение, для которого

Коэффициент λ называется коэффициентом «оптимизма-пессимизма» ЛПР. Параметр λ определяется как показатель оптимизма: при  λ = 1 критерий «крайне» оптимистический, а при  λ = 0 – «крайне пессимистический» (совпадает с критерием Вальда). Выбор величины λ субъективен: значение   коэффициента λ  между 0 и 1 определяется в зависимости от склонности ЛПР к пессимизму или оптимизму при прогнозировании будущего «состояния дел». Предположим, что ОФ принадлежит к F+ и задано значение λ = 0,5 (случай «умеренного оптимизма» ЛПР).

Таблица 16 - Расчеты по критерию Гурвица

Ai\Sj	S1	S2	S3	S4	min Fj	max Fj	G(ai)
a1	15000	37500	-12000	-21000	-21000	37500	8250
a2	52500	75000	25500	16500	16500	75000	45750
a3	90000	71250	63000	54000	54000	90000	72000
a4	86250	67500	100500	91500	67500	100500	84000
a5	82500	63750	105000	112500	63750	112500	88125

G(а1) = (1 – 0,5)*(-21000) + 0,5*37500 = 8250;

G(а2) = (1 –0,5)*16500 + 0,5*75000 = 45750 и т.д.

Оптимальным является решение а5 с G(а5)=88125. Если принять значение λ = 0 («крайний пессимизм»), получим: G(а1) = -21000; G(а2) = 16500; G(а3) = 54000; G(а4) = 67500; G(а5) = 63750. Оптимальным решением будет а4 с G(а4) = 67500.

При  λ = 1 («крайний оптимизм»):

G(а1) = 37500; G(а2) = 75000; G(а3) = 90000; G(а4) = 100500; G(а5) = 112500. Оптимальным является решение а5 с G(а5) = 112500.