Лабораторная работа №2

Тема: Кривая производственных возможностей

Цель:

• Научить анализировать структуру доходов организации или общества в целом;

• Выявить наиболее удобный для студента способ сопоставления данных (графический или аналитический);

Условие задачи:

Кривая производственных возможностей описывается уравнением х²+ у²=2225, где х – производство апельсинов, у – производство сосисок. Общество решило производить апельсины и сосиски в пропорции 5:8. Постройте кривую производственных возможностей для данного общества. Определите точку выбора общества (Х;У) на кривой. Определите, является ли достижимым для общества вариант производства (30;47) в данный момент времени?

Основные понятия и формулы, необходимые для решения задачи:

Кривая производственных возможностей (КПВ) – кривая, на которой расположены варианты максимально возможного уровня производства данного общества при данных условиях и данном запасе ресурсов. Задается уравнением f (x,y)=a, где х – отражает определенный товар или группу товаров (средств производства), у – тоже отражает определенный товар или группу товаров (предметов потребления).

Все варианты производства (х,у), расположенные ниже КПВ являются достижимыми в данный момент времени при данном количестве ресурсов, но не максимально возможными. Все варианты производства (х,у), расположенные выше КПВ являются недостижимыми в данный момент времени при данном количестве ресурсов.

Пошаговое решение задачи

1. Для построения кривой производственных возможностей по заданным условиям необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую. Например, у²= 2225-х². И далее данное уравнение рассматриваем как функциональную зависимость у(х). То есть в одной строке произвольно указываем значения х, а в следующей строке получаем значения функции у(х).

2. Теперь для этих двух рядов строим график:

3. Оптимальный вариант выбора общества с учетом пропорций 5:8 можно найти двумя способами: графическим и аналитическим.

Первоначально необходимо выразить одну переменную через другую. Например, х=0,625*у. Теперь снова строим два ряда данных, только сейчас у- независимая переменная, а х находим с помощью указанной формулы. После нахождения значений х,у (ресурсов производства) найдем объем производства общества, использующего эти ресурсы:

4. Далее введем учет максимальных возможностей для производства данного общества: по условию задачи возможности ограничены значением 2225. Просматриваем все варианты производства и выбираем значение параметров, удовлетворяющих условию: х² +у²= 2225. Или для упрощения поиска (при огромном количестве вариантов или наличии нескольких решений) строкой ниже под каждым значением функции введем условие ‘=ЕСЛИ($R$6=S5;"True";"False")’ , и в случае оптимального решения программа сама выдаст столбец с ответом.

1. Чтобы получить графическое решение, то есть отметить точку на графике, надо вспомнить геометрический смысл оптимального выбора: оптимальное решение есть касательная к заданной линии в точке. Следовательно, для получения решения мы должны построить касательную к КПВ в точке (25;40). Уравнение касательной у=kх+b. Коэффициент касательной k должен совпасть с углом наклона КПВ в этой точке, то есть должен учитывать пропорции выбора: 5/8

Создадим 2 новых ряда данных х,у. (E11:N11, E12:N12), причем значения х возьмём такие же, как и при построении функции. В третьем ряду (E13:N13) введем «0» под всеми значениями х – для нахождения свободного члена уравнения касательной. В строку (E12:N12) со значениями у введём формулу – уравнение касательной:

2. Для подбора b воспользуемся возможностью Excel Подбор параметра Сервис/Подбор параметра). Установим курсор в ячейку, где должен быть оптимальный вариант (25;40) – I12. Вызываем Подбор параметра и задаем необходимые условия:

3. Получили значение b, равное 55,625. Таким образом получили уравнение касательной к КПВ в точке (25;40): у=5/8*х+55,625. Подставляем его в ячейки E13:N13 и автоматически получаем значения у. Построим два графика КПВ и касательной на одном и получим графическое решение задачи:

4. Чтобы проверить, является ли достижимым вариант производства (30;47), необходимо подставить значения в правую часть уравнения КПВ. Если результат будет меньше либо равен результату, то данный вариант производства достижим, а если больше – недостижим при заданном количестве ресурсов в обществе. Вариант производства (30;47) является недостижимым, так как 3109>2225.

Условия задач для самостоятельного решения

1. Кривая производственных возможностей описывается уравнением 2х²+у²=2916, где х – производство средств производства, у – производство предметов потребления. Общество решило производить апельсины и сосиски в пропорции 4:7. Определите точку выбора общества (Х;У) на КПВ. Является ли достижимым для общества вариант производства (26;35) в данный момент времени?

2. Кривая производственных возможностей описывается уравнением х²+у²=306, где х – производство станков, у – производство хлебобулочных изделий. Общество решило производить апельсины и сосиски в пропорции 5:3. Определите точку выбора общества (Х;У) на КПВ. Является ли достижимым для общества вариант производства (12;17) в данный момент времени?

3. Кривая производственных возможностей описывается уравнением 3х²+4у²=2196, где х – производство средств производства, у – производство предметов потребления. Общество решило производить апельсины и сосиски в пропорции 4:7. Определите точку выбора общества (Х;У) на КПВ. Является ли достижимым для общества вариант производства (20;10) в данный момент времени?

4. Кривая производственных возможностей описывается уравнением х²+у²=2125, где х – производство средств производства, у – производство предметов потребления. Общество решило производить апельсины и сосиски в пропорции 7:6. Определите точку выбора общества (Х;У) на КПВ. Является ли достижимым для общества вариант производства (23;40) в данный момент времени?