V. Иррациональные уравнения, неравенства и системы

Иррациональными называют уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком радикала.

Простейшее иррациональное уравнение имеет вид:

При решении иррациональных уравнений, как правило, применяют преобразование, связанное с возведением обеих частей уравнения в натуральную степень.

При возведении уравнения в нечётную степень получается уравнение, равносильное исходному:  .

При возведении уравнения в чётную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного:  , то есть такое, которое кроме корней исходного уравнения может содержать и другие корни (их называют посторонними для исходного). Значит в этом случае необходимо проверить все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Другой путь решения таких уравнений – переход к равносильным системам, в которых учитывается область допустимых значений уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в чётную степень:  .

При решении иррациональных неравенств используют метод интервалов или с помощью некоторых равносильных преобразований заменяют данное иррациональное неравенство системой (совокупностью систем) рациональных неравенств.

Тестовые задания (по 10 баллов).

401. Равносильным выражению на множестве (–, 0] является

а) – б) в) – г)

402. Уравнение не имеет решений

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

403. Уравнение имеет

а) два корня, произведение которых равно 0,

б) два корня, сумма которых равна 5,

в) один корень, равный 0,

г) один корень, неравный 0.

404. Уравнение имеет

а) два корня, произведение которых равно (– 6),

б) два корня, сумма которых равна (– 6),

в) один отрицательный корень равный ___________,

г) один положительный корень равный ___________.

405.  Уравнение

а) не имеет решений,

б) имеет единственное решение ,

в) имеет единственное решение ,

г) имеет решение .

406.  Решением неравенства  0 является множество чисел

а) { 1, 2}

б) {– 1} [2;+)

в) { 1} [2;+)

г) [1, 2]

407. Решением неравенства  0 является множество чисел

а) { 1, 2}

б) (–;–1] {1; 2}

в) (–;–1] {2}

г) [– 1, 2]

408. Решением неравенства < является множество чисел

а) 

б) {2, 3}

в) [2, 3]

г) (–;2] [3;+)

409. Решением неравенства < 1 – x является множество чисел

а) 

б) [– 5;– 1)

в) [– 5; 1]

г) [– 5;– 1) (4;+)

410. Решением неравенства > 8 – 2x является множество чисел

а) (3; 5]

б) (3; )

в) (3; 4]

г) [1; 5]

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите уравнения

411. 412.

413. 414.

415. 416.

417. 418.

419.

420.

Задачи I уровня (по 20 баллов). Часто, когда подкоренные выражения иррационального уравнения вида представлены многочленами степени 2 и выше, используют искусственные методы решения, позволяющие свести исходное уравнение к рациональному, минимальной степени.

Решим уравнение . Воспользуемся формулой разности квадратов: А² – В² = (А – В)(А + В), в которой будет фигурировать наше уравнение: А = , В = ,

А² = 3х²– 5х + 7, В² = 3х²– 7х + 2,

А² – В² = 2х + 5, А + В = 3.

.

Сложим это уравнение с исходным, получим: или

. Возведём в квадрат, упростим и получим:

26х²– 59х + 14 = 0, D = 45². х₁= , х₂= 2.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение, убеждаемся, что полученные значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ. х₁= , х₂= 2.

Подобным образом поступают при решении уравнений вида:

и

В этом случае используется формула куба суммы / разности:

(А  В)³ = А³   В³ + 3АВ(В  А)

Решите уравнения

421. 422.

423. 424.

425. 426.

427. 428.

429.

430.

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите неравенства

431. > 0	432. < x
433.	434.
435.	436.
437.	438.
439.	440.
441.	442.
443.	444.
445.	446.
447.	448.
449. х2 + 8х +8  4(х + 2)	450.

Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите системы уравнений:

451.	452.
453.	454.
455.	456.
457.	458.
459.	460.

Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажите следующие утверждения:

461. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

462. Для любых 1 a  2 справедливо равенство:

.

463. для любых действительных a.

464.  , для любых положительных a, b, с и d.

465.  Для всех допустимых значениях переменных выражение:

неотрицательно и не зависит от х.

466. Для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство:

.

467. Для любых неотрицательных чисел х, у и z:

х + у + z  .

468. Если сумма неотрицательных чисел х, у и z равна 7, то сумма арифметических корней из этих чисел меньше 5.

469. Для любых чисел х и у больших 1: .

470. Для любых положительных чисел х, у и z меньших 1, сумма кубов которых равна 1: .

Задачи II уровня (по 30 баллов). Найдите:

471. общее решение уравнения вида:

для любого натурального n;

472. общее решение уравнения вида: для любых натуральных a, р, q;

473. общее решение уравнения вида:

для любых натуральных a<b и n;

474. общее решение уравнения вида: ;

475. алгоритм решения уравнения вида: где a>b, c>0 – данные числа;

476. решение неравенства для всех a>0;

477. решение неравенства ;

478. значение выражения

при х = 126025, у = 18225, z =729.

479. значения параметра a, при которых уравнение

имеет единственное решение;

480. при каких значениях параметров a, b и c уравнение

имеет бесконечно много решений;

481. верно ли, что при любых действительных значениях a выполняется неравенство :

482. наименьшее значение суммы (х + у), если ;

483. значения х, удовлетворяющие неравенству .

484. значения а, при каждом из которых решением неравенства является отрезок.

485. геометрические модели выражений: , , , построение которых можно осуществить с помощью циркуля и линейки.

Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи.

486 Задача Диофанта Александрийского. Катет прямоугольного треугольника есть точный куб, другой катет представляет разность между этим кубом и его стороной (то есть первой степенью), а гипотенуза есть сумма куба и его стороны. найти стороны.

487. Брат с сестрой, используя складной метр, состоящий из 30 дециметровых звеньев, получают треугольники. Однажды брат сложил треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестра – треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, не производя измерений, выяснить, площадь какого треугольника больше?

488. Брат с сестрой, используя складной метр, состоящий из 30 дециметровых звеньев, получают треугольники. Однажды брат сложил треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестра – треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, не производя измерений, найти для каждого треугольника расстояние от его вершины до противолежащей стороны?

489. Брат с сестрой, используя складной метр, состоящий из 30 дециметровых звеньев, получают треугольники. Однажды брат сложил треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестра – треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, не производя измерений, найти для каждого треугольника длины его медиан?

490. Брат с сестрой, используя складной метр, состоящий из 30 дециметровых звеньев, получают треугольники. Однажды брат сложил треугольник, стороны которого составлены из 11, 10 и 9 звеньев, а сестра – треугольник, стороны которого составлены из 12, 10 и 8 звеньев. Как детям, не производя измерений, найти для каждого треугольника длины его биссектрис?

491. Задача Бхаскары. Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел, чтобы убить Карну; половину их он употребил на собственную защиту, а учетверённое количество квадратного корня – против лошадей: 6 стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны, разбили его лук и знамя, и только одна последняя пронзила ему голову. Сколько было стрел у Арджуны, сына Притхи?

492. Задача Фараона или Колодец Лотоса (VIII век до н. э.). В круглом колодце налита вода на одну единицу длины. Две разновеликие тростинки, с длиной 2 и 3 единицы соответственно, одними концами упираются в дно колодца, а другими концами опираются на его стены. Тростинки пересекаются на уровне налитой в колодец воды. Какова ширина^* колодца?

493. Прямоугольный участок площадью 420 м² нужно обнести проволочным забором и разгородить по диагонали пополам. Определить размеры участка, если на это потребовалось 111 м проволоки. Какой формы прямоугольный участок с той же площадью нужно выбрать, чтобы на это потребовалось наименьшее количество проволоки?

494. Муравей ползёт по пню так, что его путь можно представить в виде ломаной, являющейся частью равнобокой трапеции – осевого сечения пня. Путь проделанный муравьём равен 12. объём пня – 28, его высота – 4. Какова площадь прямоугольника со сторонами, равными площадям верхнего и нижнего основания пня?

495. Задача арабского математика XI века. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

496. Творческое задание (100 баллов). Заменой неизвестного решение иррациональных уравнений иногда можно свести к решению тригонометрических уравнений. Опишите этот метод решения иррациональных уравнений. Приведите не менее 10 примеров.

4 97. Творческое задание (100 баллов). Обобщите неравенства из заданий № 461, № 464. В общем виде это неравенство было доказано великим французским математиком XIX века Огюстеном Луи Коши и является частью «неравенства о среднем».

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в  его учебнике по математическому анализу в 1821 году. С тех пор для этого неравенства было найдено немало доказательств.

Приведите доказательство неравенства, данное самим автором. Выведите несколько следствий их этого неравенства.

Приведите полую формулировку неравенства о среднем, докажите его для случая двух неизвестных.

Что Вам известно о жизнедеятельности, математических и других научных достижениях О. Коши?

498. Творческое задание (100 баллов). Радикалом называют знак , применяемый для обозначения операции извлечения корня n-ой степени из некоторого выражения. Выясните этимологию термина «радикал», историю возникновения этого символа, имена каких учёных связаны с использованием радикалов в математической литературе.

499. Творческое задание (100 баллов). Известно, что решить иррациональное уравнение / неравенство с параметром можно несколькими способами. На примере какого-либо иррационального уравнения / неравенства продемонстрируёте всевозможные способы его решения. На каждый способ приведите подборку задач,

500. Творческое задание (100 баллов). Разработайте в среде электронных таблиц компьютерные модели ряда задач №№ 411-460 данной темы, а также генераторы этих задач.