Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Звести до канонічного виду рівняння лінії та побудувати її.

Розв’язання. Виконаємо наступні обчислення:

, , .

Характеристичне рівняння запишеться у виді та має корені . Використавши співвідношення (3), запишемо початкове рівняння у виді , або

.

О держали канонічне рівняння еліпса. Для зображення системи координат, в якій еліпс задається даним канонічним рівнянням, знайдемо його центр. Із системи

дістаємо . Знайдено початок нової системи координат – точку . Для відшукання кута повороту дістаємо

.

Залишається зобразити нову систему координат та побудувати в ній еліпс за його канонічним рівняння (рис. 1).

Задача 2. Звести до канонічного виду рівняння лінії та побудувати її.

Розв’язання. Виконаємо аналогічні до попереднього прикладу обчислення:

, , .

Характеристичне рівняння має корені . Рівняння параболи, відповідно до рівності (5), запишемо у виді або . Для відшукання нової системи координат спочатку знайдемо вершину параболи. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Отримуємо , звідки дістаємо . Поворот системи координат здійснюється на кут .

Зауважимо, що даний приклад ми уже розглядали у попередній темі (задача 4), але розв’язували його іншим методом. Там же наведено зображення даної лінії (рис. 4).

Задача 3. Встановити вид лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Обчислимо інваріант .

.

Оскільки , то рівняння задає вироджену лінію. Тому розв’яжемо його, як квадратне відносно однієї із змінних, зокрема відносно змінної . Дістаємо

,

звідки та . За допомогою знайдених коренів задане рівняння можна записати у виді . Очевидно, що воно задає дві прямі та .

Відповідь. Дві прямі та , що перетинаються.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. За допомогою інваріантів встановити, яку лінію виражають рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. 4

18. .

2. За допомогою інваріантів звести рівняння до канонічного виду та побудувати лінію:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

3. Підібрати значення параметрів та так, щоб рівняння виражало пару паралельних прямих.

4. При якому значенні параметра рівняння виражає:

а) параболу;

б) пару прямих?

5. Які лінії виражаються рівнянням при різних значеннях параметра ?

Практичне заняття № 26. Контрольна робота №4 Загальне рівняння лінії другого порядку.