Основні теоретичні факти.
Нехай лінія другого порядку задана своїм загальним рівнянням
. (1)
Після застосування формул переходу до нової системи координат
,
,
(2)
які пов’язують координати точки у двох системах координат після паралельного перенесення початкової системи в новий початок з наступним її поворотом на кут , рівняння (1) запишеться у виді
.
Існують константи – значення певних функцій від коефіцієнтів рівняння, які не залежать від вибору системи координат та визначаються тільки властивостями ліній. Їх називають інваріантами рівняння лінії. З окремими із них ми вже мали можливість зустрічатися. Інваріантними (незмінними) є коефіцієнти біля старших членів рівняння при паралельному перенесенні системи координат. При повороті інваріантом рівняння є його вільний член. Існують інші інваріанти, які в окремих випадках допомагають суттєво спростити дослідження властивостей ліній та виконувати їх побудову. Такими є числа
,
та
.
Вони не змінюються при перетворенні рівняння (1) за допомогою формул (2).
При побудові ліній другого порядку за допомогою інваріантів фактично доводиться розв’язувати дві основні задачі. Перша із них полягає у максимальному спрощенні рівняння лінії, зокрема у зведенні його до канонічного виду. Друга задача полягає у відшуканні нової системи координат, в якій лінія задається перетвореним спрощеним рівнянням. Очевидно, що розв’язання другої задачі полягає у знаходженні нового початку координат та кута повороту, при якому координатні осі набувають головних напрямків.
Покажемо, як, користуючись інваріантами рівняння лінії, визначати кут повороту.
Насамперед
відмітимо, що рівняння
називається характеристичним
рівнянням лінії другого порядку.
Через інваріанти
воно записується у виді
.
Характеристичне
рівняння завжди має дійсні корені,
оскільки його дискримінант рівний
.
Використовуючи ці корені, кутовий
коефіцієнт головного напрямку можна
обчислити за допомогою одного із
співвідношень
.
Зведення рівняння лінії до канонічного виду за допомогою інваріантів передбачає розгляд наступних випадків.
1.
(тобто лінія центральна). Рівняння (1)
зводиться до виду
(3)
і може задавати:
еліпс
,
коли
,
- одного знаку (
),
частка
- протилежного;уявний еліпс, коли ,
- одного знаку. Прикладом уявного еліпса
може бути лінія, задана рівнянням
;гіперболу
,
коли
,
- протилежного знаку (тобто
);пару уявних прямих
,
що перетинаються у дійсній точці у
випадку, коли
,
- одного знаку. Відповідним прикладом
може бути лінія, задана рівнянням
;пару прямих
,
які перетинаються, коли
,
- протилежного знаку (
).
Рівняння
ілюструє цей випадок;
2.
(тобто випадок, коли лінія нецентральна).
Одним із коренів характеристичного
рівняння є число
.
Після повороту на кут
,
при якому вісь
набуде головного напрямку, рівняння
лінії зводиться до виду
,
(4)
де
- другий корінь характеристичного
рівняння. Тут можливі наступні випадки.
. Лінія являє собою параболу, а її канонічне рівняння записується у виді
.
(5)
(тобто
).
Рівняння (4) перетворюється у квадратне
відносно змінної
.
У залежності від дискримінанта
дістаємо три випадки:
1)
,
квадратне рівняння має два різні дійсні
корені, а рівняння лінії задає дві
паралельні прямі. Прикладом може бути
лінія, задана рівнянням
;
2)
,
квадратне рівняння має два рівні корені,
а рівняння лінії задає дві прямі; які
співпадають. Наприклад,
;
3)
,
квадратне рівняння має два різні уявні
корені, а рівняння лінії задає дві уявні
паралельні прямі. Рівняння
ілюструє цей випадок;
Підсумовуючи сказане, зробимо наступний висновок. Існує 9 різних типів ліній другого порядку: еліпс, уявний еліпс, гіпербола, парабола, дві прямі, які перетинаються, дві паралельні прямі, дві прямі; які співпадають, пара уявних прямих, які перетинаються у дійсній точці та дві уявні паралельні прямі.
При побудові ліній другого порядку за допомогою інваріантів можна дотримуватися такої схеми.
Використовуючи
коефіцієнти рівняння, обчислюють
інваріанти
та
.
Нехай
.
Тоді, знайшовши корені характеристичного
рівняння
,
рівняння лінії записують у виді (3) або
(5). Для побудови лінії за одержаним
рівнянням потрібно зобразити нову
систему координат. Для цього шукають
центр лінії при
або шукають вершину параболи у випадку,
коли
- це координати нового початку. Потім
виконують поворот системи координат
на кут
.
У випадку, коли , лінія другого порядку вироджується у дві прямі, а її рівняння можна представити у вигляді рівності нулю добутку двох лінійних множників. Щоб знайти дані множники рівняння (1) розв’язують, як квадратне відносно змінної або . Одержавши рівняння прямих, їх будують у початковій системі координат.