Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Знайдемо центр лінії. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Оскільки , то початок нової системи координат потрібно вибрати у точці . Формули, за допомогою яких спрощується рівняння лінії, матимуть вигляд

.

О бчисливши та скориставшись розглянутими вище властивостями, дістаємо перетворене рівняння у виді або . Побудова графіка одержаної залежності легко реалізується у системі координат (рис. 2). При цьому доцільно використати точки перетину лінії з осями початкової системи координат. На рисунку - це точки та .

Задача 2. Рівняння звести до канонічного виду та назвати лінію, яка задається цим рівнянням.

Розв’язання. За допомогою повороту системи координат позбудемось доданка, який містить добуток змінних та . Для цього складемо та розв’яжемо рівняння

, .

Із одержаних двох значень для відшукання кута повороту виберемо одне. Нехай . Тоді формули повороту набувають виду , . Підставляючи їх у задане рівняння, дістаємо

,

звідки , або .

Одержане канонічне рівняння показує, що задана лінія - еліпс.

Задача 3. За допомогою геометричних перетворень спростити рівняння та побудувати лінію.

Розв’язання. Склавши систему для відшукання центра

та розв’язавши її, дістаємо початок нової системи координат, який знаходиться в точці . Обчисливши новий вільний член , записуємо рівняння лінії у системі координат . Воно матиме вид . Для знаходження кута повороту складаємо рівняння , звідки дістаємо . Нехай . Формули повороту запишуться у виді

, . Підставляючи їх у рівняння лінії та спрощуючи одержаний вираз, дістаємо рівняння . Очевидно, що побудова заданої лінії зводиться до побудови двох прямих у системі , одержаній поворотом системи на кут (рис. 3).

Задача 4. Звести до канонічного виду рівняння та побудувати параболу.

Розв’язання. Знайдемо вершину параболи. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Дістаємо , звідки знаходимо координати нового початку координат . Виконавши паралельне перенесення у точку , яке задається рівностями

,

о тримуємо рівняння лінії у виді . Оскільки , то кут повороту . Формули повороту запишуться у виді

, ,

а після їхнього застосування рівняння лінії набуде виду . Зобразивши систему координат та користуючись одержаним рівнянням, виконуємо побудову параболи (рис.4).

Зауважимо, що для більш точної побудови можна знайти деякі допоміжні точки на параболі, наприклад, точки її перетину з координатними осями. У нашому випадку при дістаємо рівняння , яке не має розв’язків, а при - рівняння із коренями , які визначають точки перетину параболи з віссю . При виконанні зображення використано також точки та , які розташовані симетрично до точок та відносно осі .

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Перенесенням початку координат у центр спростити рівняння лінії:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

2. Користуючись формулами повороту, спростити рівняння лінії:

а) ,

б) ,

в) ,

г).

3. Перенесенням початку координат у вершину та поворотом осей спростити рівняння параболи .

4. Визначити вид лінії, написати її канонічне рівняння, знайти канонічну систему координат і побудувати лінію:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

є) .

5. Лінія другого порядку задається рівнянням . Визначити вид лінії при зміні параметра від до .

Практичне заняття № 25. Інваріанти рівняння лінії другого порядку та їх застосування.