Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Оскільки , то лінія, яку ми досліджуємо, еліптичного типу. Система для відшукання центра запишеться у виді

.

Р озв’язавши її, знаходимо . Рівняння осей симетрії було знайдено раніше (задача 4) у вигляді співвідношень , . Знайдемо точки перетину лінії з координатними осями. Системи та мають розв’язки , яким відповідають точки .

Знаходимо точки перетину лінії з осями симетрії. Для цього складаємо системи рівнянь

, ,

звідки дістаємо ще чотири точки на лінії , .

Знайдені нами прямі та точки дозволяють зобразити лінію (рис. 1).

Задача 2. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Встановимо тип лінії. Для цього обчислюємо визначник . Отже, лінія гіперболічного типу. Шукаємо центр лінії. Із системи

дістаємо . Рівняння осей симетрії шукаємо у виді , . Числа знаходимо, як корені рівняння , тобто рівняння . Дістаємо . Після очевидних перетворень рівняння осей симетрії запишуться у виді .

Займемось відшуканням рівнянь асимптот. Підставляючи у рівності , замість та корені рівняння (у даному випадку воно запишеться у виді і матиме корені , ), дістаємо рівняння двох асимптот: . Шукаємо точки перетину лінії з координатними осями. Із систем

та

дістаємо точки . Точки перетину лінії з осями симетрії знаходимо із систем

та .

І з першої системи дістаємо , що визначає дві точки . Очевидно, що друга система розв’язків не має, оскільки гіпербола

перетинається тільки з одною із своїх осей симетрії. Отримані вище результати дозволяють зобразити лінію (рис. 2).

Задача 3. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Встановлюємо тип лінії. Обчисливши визначник , бачимо, що дана лінія параболічного типу. Шукаємо вісь симетрії. Використавши рівність та обчисливши вирази , дістаємо рівняння . Знайдемо точку перетину лінії із одержаною прямою, тобто вершину параболи. Із системи рівнянь

дістаємо . Вісь задана лінія не перетинає, оскільки при рівняння не має розв’язків. Система

дозволяє знайти дві точки перетину лінії з віссю : та , перша з яких, очевидно, співпадає з вершиною параболи. Зауважимо, що при зображенні лінії можна додатково використати точку , яка симетрична до точки відносно осі параболи (рис. 3).

Задачі для самостійного розв’язання. Практичне заняття № 24. Спрощення рівняння та побудова лінії другого порядку за допомогою геометричних перетворень. Основні теоретичні факти.

Інший підхід при дослідженні загального рівняння лінії другого порядку, який ми зараз розглядаємо, відмінний від розглянутого раніше варіанту вивчення властивостей ліній, полягає у тому, що при заміні системи координат іншою системою рівняння лінії змінюється. Виявляється, що при вдалому виборі нової системи координат рівняння лінії можна суттєво спростити та звести до канонічного виду. З цього моменту для вивчення властивостей лінії та її зображення можна скористатись відомою нам канонічною теорією ліній другого порядку.

Розглянемо, як перетворюється рівняння лінії другого порядку, заданої рівнянням

, (*)

при паралельному перенесенні системи координат.

Нехай прямокутна декартова система координат одержана паралельним перенесенням системи у новий початок - точку . Розглянемо довільну точку площини, яка у початковій системі має координати , а в іншій прямокутній системі - координати .

Співвідношення виражають зв'язок між координатами точки у двох різних системах координат, одна із яких одержана паралельним перенесенням іншої. Користуючись ними, рівняння лінії можна спрощувати. При цьому:

1) при паралельному перенесенні системи координат у новий початок коефіцієнти біля старших членів не змінюються;

2) вільний член у перетвореному рівнянні дорівнює ;

3 ) якщо лінія, задана рівнянням (*), – центральна і точка є центром лінії, то у перетвореному рівнянні коефіцієнти біля та будуть рівні нулю.

Дослідимо, як перетворюється рівняння лінії при повороті системи координат навколо початку координат - точки на деякий кут . Нехай прямокутна декартова система координат одержана поворотом системи навколо точки на кут . Розглянемо довільну точку площини, яка в початковій системі має координати , а у новій системі - координати (рис. 1). Формули

, (**)

виражають зв’язок між старими та новими координатами довільної точки площини. Вибравши кут повороту такий, що , де - один із коренів рівняння

, (***)

рівняння лінії можна спростити, а саме:

1) при повороті системи координат на кут (при цьому вісь набуває головного напрямку), коефіцієнт біля добутку в рівнянні лінії перетворюється в нуль;

2) вільний член у перетвореному рівнянні не змінюється.

Співвідношення дозволяють записати формули (**) перетворення координат при повороті системи у виді

, .

Застосуємо перетворення паралельного перенесення та повороту до побудови ліній другого порядку, вважаючи, що вони задаються у виді (*).

Спочатку розглянемо випадок центральних ліній. Нехай точка - центр лінії (*), тобто її координати є розв’язком системи

.

Тоді після паралельного перенесення системи у новий початок - точку в новій системі координат у перетвореному рівнянні коефіцієнти біля та будуть рівні нулю. Повертаючи одержану систему координат на кут , який визначається одним із коренів рівняння (***), отримаємо ще одну систему координат . У цій системі рівняння лінії не міститиме як доданків із першими степенями змінних та , так і доданка з добутком . Побудова лінії за одержаним спрощеним рівнянням, яке можна записати у канонічному виді, здійснюється в системі . Зауважимо, що співвідношення

, ,

враховуючи рівності та , , поєднують формули паралельного перенесення та повороту і надають можливість отримати спрощене рівняння безпосередньо із рівняння (*).

У випадку, коли лінія, задана рівнянням (*), не має центра, головний напрям визначається кутовим коефіцієнтом . Оскільки спряжений напрям для осі симетрії параболи рівний , то її рівняння запишеться у виді . Якщо виконати паралельне перенесення системи координат у вершину параболи – точку , яку можна знайти, розв’язавши систему рівнянь то в одержаному рівнянні вільний член перетвориться в нуль. Це випливає з того, що парабола буде проходити через початок координат. Після повороту осі на кут у рівнянні пропаде доданок, який містить добуток , а вільний член не зміниться. Отримавши рівняння лінії у канонічному виді , її можна побудувати у новій системі координат .