Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Знайти рівняння діаметра лінії , знаючи, що він паралельний до прямої , а також діаметра, спряженого до нього.

Розв’язання. Знаходимо , . Система рівнянь для відшукання центра лінії має розв’язок . Рівняння діаметра, який паралельний заданій прямій, запишеться у виді або . Оскільки кутовий коефіцієнт знайденої прямої рівний , то, використавши рівняння , дістаємо або . Зауважимо, що цю ж відповідь можна було отримати іншим способом, а саме використавши відомий центр лінії – точку та обчисливши кутовий коефіцієнт шуканого спряженого діаметра за формулою (3): .

Відповідь. , .

Задача 2. Знайти рівняння спільного діаметра ліній, заданих рівняннями та .

Розв’язання. Легко встановити, що лінія, задана другим рівнянням, не є центральною. Оскільки для неї , то серед діаметрів першої лінії потрібно вибрати той, який теж має кутовий коефіцієнт . Рівняння спільного діаметра можна скласти, знаючи точку , яка є центром першої лінії, а також його кутовий коефіцієнт: .

Відповідь. .

Задача 3. Знайти рівняння осей симетрії лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Знаходимо , . З рівняння маємо . Підставляючи одержані значення у рівняння головних діаметрів, дістаємо .

Відповідь. , .

Задача 4. Знайти рівняння осі симетрії та вершину параболи, заданої рівнянням .

Розв’язання. Знаходимо , , . Використавши рівняння осі симетрії параболи, запишемо його у виді , або . Для відшукання вершини параболи складемо систему рівнянь . Розв’язуючи її, дістаємо .

Відповідь. ; .

Задача 5. Знайти рівняння асимптот лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо рівняння для відшукання кутових коефіцієнтів асимптотичних напрямків. Використавши рівність (***), дістаємо , звідки , . Оскільки , , то, скориставшись рівнянням асимптот, дістаємо при пряму , а при пряму .

Відповідь. .

Задачі для самостійного розв’язання.

1.

2. Знайти рівняння осей симетрії та вершини ліній, заданих рівняннями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Практичне заняття № 23. Застосування властивостей ліній другого порядку для їх зображення.

Основні теоретичні факти.

У випадку, коли виникає необхідність зобразити лінію , задану рівнянням , можна користуватися різними підходами. Ми зупинимося на одному із можливих алгоритмів побудови, що ґрунтується на застосуванні властивостей ліній. Він може складатися із наступних етапів.

1. Встановлюємо тип лінії. Для цього обчислюємо визначник . Якщо , то задана лінія еліптичного типу, при - параболічного, а при - гіперболічного типу.

2. У випадку, коли , шукаємо центр лінії. Для цього розглядаємо систему рівнянь

.

Оскільки , то система має єдиний розв’язок. При даний етап пропускаємо.

3. Шукаємо осі симетрії лінії. Якщо , то рівняння осей симетрії запишуться у виді

, , де числа та є коренями рівняння . При віссю симетрії буде пряма, задана рівнянням .

4. Якщо і задана лінія гіперболічного типу, то шукаємо її асимптоти. Їхні рівняння записуються у виді , . Числа та у даному випадку є коренями рівняння . Якщо , то рівняння асимптот записуємо у виді , .

5. Шукаємо деякі точки, які належать лінії. Системи

та

дозволяють знайти точки перетину лінії з координатними осями. Системи

,

де ( ) – кутові коефіцієнти осей симетрії, дозволяють знайти вершини лінії. Очевидно, що у випадку еліпса кожна із систем матиме два розв’язки, а у випадку гіперболи одна із цих систем розв’язків мати не буде. У випадку параболи система рівнянь та дозволяє знайти її вершину. Крім знайдених точок можна використовувати і інші, зокрема точки, симетричні точкам перетину лінії з координатними осями відносно осей симетрії.

Знайдені вище точки та прямі дозволяють виконати зображення лінії, заданої початковим рівнянням.