Основні теоретичні факти.

Нехай лінія другого порядку задана рівнянням

.

Проведемо хорди, які паралельні деякій прямій із напрямним вектором . Координати точок, що є серединами паралельних хорд, задовольняють умову

або

.

Такі точки утворюють пряму. Кутовий коефіцієнт прямої при буде дорівнювати

,

де . Із одержаної рівності отримуємо співвідношення

,

яке означає, що середини хорд, паралельних прямій з кутовим коефіцієнтом , утворюють пряму, кутовий коефіцієнт якої дорівнює . Напрямки прямих, кутові коефіцієнти яких задовольняють умову

, (*)

називають спряженими напрямками лінії .

У випадку, коли , тобто, коли знаменник у рівності (*) перетворюється в нуль, пряма із спряженим напрямком перпендикулярна до осі .

Я кщо лінія центральна, то пряма або проходитиме через центр лінії, оскільки вирази та в центрі лінії перетворюються в нуль.

Пряму, що проходить через центр лінії, називають її діаметром.

Розглянемо два діаметри, які мають спряжені напрямки, тобто кожен із цих діаметрів ділить пополам хорди, паралельні до іншого. Такі діаметри називають взаємно спряженими (на рис. 1 – це діаметри та ).

Очевидно, що спряжені діаметри задаються рівняннями

та .

Кутовий коефіцієнт діаметра дорівнює , а кутовий коефіцієнт діаметра рівний . У випадку, коли , тобто, коли напрям вектора перпендикулярний до осі , рівняння спряжених діаметрів запишуться у виді та .

Д ля нецентральних ліній, тобто ліній, для яких і , спряжений напрям до довільного напрямку, який визначається кутовим коефіцієнтом , буде задаватися одним і тим же числом .

У випадку, коли , дістаємо , тому пряма із спряженим напрямком буде перпендикулярною до осі .

Пряму з напрямком, що визначається кутовим коефіцієнтом , називають діаметром параболи. На рисунку 2 спряженими до напрямку векторів та є діаметри та параболи .

Означення. Два спряжені діаметри лінії другого порядку називають головними, якщо вони взаємно перпендикулярні.

Н а рисунку 3 головними діаметрами лінії є прямі та . Дамо відповідь на питання, як знаходити головні діаметри.

Оскільки дві прямі з кутовими коефіцієнтами та будуть перпендикулярними, якщо виконується умова , то з рівняння (*) дістаємо співвідношення для відшукання :

. (**)

Одержане рівняння завжди має розв’язки, оскільки його дискримінант . Очевидно, що лише при умовах . У цьому випадку рівняння лінії можна звести до виду , де - деякі числа. При умові >0 одержане співвідношення задає коло, для якого будь-які два взаємно перпендикулярні діаметри є головними.

Нехай числа та є коренями рівняння (**). Тоді рівності

,

будуть визначати головні діаметри лінії .

Головні діаметри є осями симетрії лінії. Тому одержані вище рівняння будуть одночасно рівняннями осей симетрії лінії . Для відшукання осі симетрії параболи, кутовий коефіцієнт якої нам відомий і дорівнює зауважимо, що вона ділить пополам хорди, які перпендикулярні до неї. Напрямок цих хорд задається кутовим коефіцієнтом . Підставляючи дане число у рівняння , дістаємо, що рівняння осі симетрії параболи запишеться у виді

.

Вісь симетрії параболи називають її головним діаметром. На рисунку 2 – це пряма . Вершину параболи можна знайти на перетині лінії з її головним діаметром.

Дамо відповідь на питання, при яких умовах існують і як знаходити асимптоти лінії . Умовою того, щоб пряма , паралельна до вектора , або з кутовим коефіцієнтом (при ) мала відносно лінії асимптотичний напрям, є рівність нулю коефіцієнта . Тут можливі два випадки.

Нехай . Тоді рівність неможлива при , оскільки вектор не може бути нульовим. Розділивши дану рівність на , дістаємо співвідношення

. (***)

Одержане квадратне рівняння має два корені при умові, що , один корінь, якщо та не матиме коренів, якщо . Якщо , то лінію називають лінією еліптичного типу, при - параболічного, а при - гіперболічного типу. У випадку, коли лінія гіперболічного типу, рівняння

, ,

де та - корені рівняння (***), будуть визначати асимптоти лінії , оскільки відповідні прямі мають асимптотичний напрям та проходять через центр лінії. При рівняння (***) матиме корінь . Він визначає асимптотичний напрям для нецентральних ліній. Для ліній еліптичного типу асимптоти відсутні.

Якщо , то умова запишеться у виді . Звідси дістаємо два вектори, які задають асимптотичний напрям: та . Перший вектор визначає прямі, які мають асимптотичний напрям та перпендикулярні до осі . Другий вектор при має напрям вектора , а при визначає прямі з кутовим коефіцієнтом .

При очевидно, що і лінія параболічного типу, а при , дістаємо , тобто лінія гіперболічного типу і має дві асимптоти. Скориставшись рівністю , у цьому випадку дістаємо рівняння шуканих асимптот у виді

, .