Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Знайти центр лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь . Дістаємо

,

звідки . Отже, задана лінія має єдиний центр, який знаходиться в точці .

Задача 2. Скласти рівняння тієї хорди параболи , для якої точка (1, 2) є серединою.

Розв’язання. Визначимо координати та вектора, що задає напрям шуканої хорди, із умови . Для цього запишемо задане в умові рівняння у виді та знайдемо: . Одним із розв’язків рівняння є . Маючи точку на хорді та паралельний до хорди вектор, складаємо її рівняння.

Відповідь. .

Задача 3. Знайти геометричне місце середин хорд параболи , які проведені паралельно до прямої .

Розв’язання. Очевидно, що вектор паралельний до прямої. Обчислимо вирази та , записавши рівняння лінії у виді . Знаходимо . Вираз в нашій задачі запишеться у виді рівності .

Відповідь. Пряма .

Задача 4. Скласти рівняння дотичних до еліпса, гіперболи та параболи у довільній точці, що їм належить, у випадку, коли лінії задані канонічними рівняннями.

Розв’язання. Нехай еліпс заданий рівнянням та точка . Знаходимо , . Рівняння (3) запишеться у виді або . Таким чином, рівняння дотичної до еліпса має вид . Аналогічно, рівняння дотичної до гіперболи в точці записується у виді

.

У випадку параболи запишемо її канонічне рівняння у виді , звідки , . Отримуємо . Оскільки , то після очевидних перетворень рівняння дотичної запишеться у виді

.

Задача 5. Скласти рівняння спільних дотичних до двох кіл та .

Розв’язання. Оскільки шукана дотична не проходить через початок координат, то її рівняння можна записати у виді . Для визначення невідомих значень параметрів та використаємо відстані та , на яких проходить дотична від центрів заданих кіл і . Дістаємо співвідношення та , звідки знаходимо дві пари розв’язків та .

Відповідь. , .

Задача 6. Знайти множину точок, з яких параболу видно під прямим кутом.

Розв’язання. Нехай - одна із точок шуканої множини, тобто кут між дотичними, які проведені до параболи із даної точки, рівний . Запишемо рівняння пучка прямих, які проходять через точку у виді . Даний пучок не містить вертикальних прямих, але такі прямі розглядати не потрібно, оскільки парабола не має вертикальних дотичних. Виберемо з пучка прямі, які дотикаються до параболи. Для цього система рівнянь та повинна мати єдиний розв’язок. На рівняння , яке дістаємо при розв’язуванні системи, накладемо умову, що його дискримінант рівний нулю. Отримаємо рівняння . Кожен з коренів одержаного рівняння визначає дотичну до параболи пряму. Дані дві прямі будуть перпендикулярними, якщо виконується умова . Скориставшись теоремою Вієта, дістаємо або . Це співвідношення є рівнянням шуканої множини точок.

Відповідь. Точки прямої (ця пряма є директрисою заданої параболи).

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Задана лінія . Встановити, при яких значеннях параметра пряма :

а) перетинає цю лінію;

б) дотикається до неї;

в) має відносно неї асимптотичний напрям;

г) не має з нею спільних точок.

2. Знайти центр лінії і дотичну до неї, що проходить через початок координат:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

3. Скласти рівняння хорди еліпса , для якого точка (1, 2) є серединою.

4. Скласти рівняння хорди гіперболи , для якої точка (1, 1) є серединою.

5. Скласти рівняння хорди параболи , для якої точка (1, 1) є серединою.

6. Знайти геометричне місце середин хорд:

а) еліпса ,

б) гіперболи ,

в) параболи ,

які проведені паралельно до прямої .

7. Встановити, при яких значеннях параметра лінія :

а) дотикається до осі ;

б) відтинає на осі відрізок довжиною 6.

8. Написати рівняння прямої, яка дотикається до лінії у початку координат.

9. Написати рівняння дотичної до лінії , яка паралельна до прямої .

10. Скласти рівняння лінії другого порядку, яка проходить через початок координат і дотикається до прямої в точці та до прямої в точці .

11. Встановити, при яких значеннях параметрів та рівняння задає:

а) центральну лінію;

б) лінію без центрів;

в) лінію з прямою центрів.

Практичне заняття № 22. Спряжені напрямки та спряжені діаметри лінії другого порядку. Головні напрямки та головні діаметри. Рівняння осей симетрії. Рівняння асимптот.