3. Решение задачи

Создадим макет таблицы и подготовим исходные данные для расчета (рис. 9). Для этого впишем значения нижнего (ячейка А3) и верхнего (ячейка В3) пределов интегрирования в соответствии с заданным интегралом (1); зададим количество отрезков N (ячейка С3) и рассчитаем величину шага Н по формуле (2).

Далее в ячейке А5 зададим начальное значение аргумента X, равное нижнему пределу интегрирования (=А3); в ячейку А6 запишем формулу расчета приращения аргумента (=А5+$D$3), указав абсолютную адресацию для ячейки, в которой записана величина шага и скопируем формулу из ячейки А6 в нижележащие ячейки вплоть до ячейки А25, в которой значение аргумента станет равным 6, т. е. верхнему пределу интегрирования заданного интеграла. Столбец со значениями аргумента подготовлен.

Рис. 9. Подготовка таблицы

Теперь заполним столбец со значениями функции. В ячейку В5 запишем выражение для подынтегральной функции (=А5^2) и скопируем его в нижележащие ячейки.

Переходим к составлению расчетной формулы метода прямоугольников. Знак суммы в выражении (5) для Excel непонятен, поэтому выражение надо записать иначе и для накопления суммы использовать рекуррентную зависимость:

(8)

Здесь каждое последующее значение суммы S_i+1рассчитывается на основании предыдущего S_i плюс следующий член последовательности HY(X_i). Обратите внимание, что значение аргумента берется от предыдущего шага X_i. Чтобы не произошло накопление ошибки, первоначальную сумму надо обнулить, поэтому в ячейку С5 запишем ноль. Саму рекуррентную зависимость, выраженную в адресах, запишем в ячейку С6 (=C5+B5*$D$3). Затем скопируем формулу из ячейки С6 в ячейки диапазона С7:С25. Получим ряд промежуточных сумм, а в ячейке С25 будет представлен окончательный результат (рис. 10). Он равен 66,69.

Для реализации метода трапеций также организуем накопление площадей, используя рекуррентную зависимость:

(9)

Это означает, что на каждом шаге к сумме, накопленной за предыдущие шаги, добавляется площадь очередной трапеции. В ячейку D6 запишем выражение для суммы площадей на втором шаге (=D5+(B5+B6)*$D$3/2). Скопируем выражение в ячейки диапазона D7:D25. Результат представлен на рис. 10.

Интересно сравнить результаты, полученные методом прямоугольников (66,69) и трапеций (72,09), с точным решением определенного интеграла (72), а так же исследовать влияние на точность вычислений числа отрезков N, на которые разбивается интервал интегрирования [a, b].

Варианты заданий представлены в табл. 4.