2 Контрольная работа №2

2.1 Задание на контрольную работу №2

Разработать алгоритм f₁ и f₂ (см. контрольную работу №1), оценить время t_i вычисления каждой функции, а также требуемую емкость ПЗУ и ОЗУ. Построить схему сопряжения МП с АЦП и ЦАП.

Исходными данными для контрольной работы №2 являются исходные данные и результаты расчета разрядной сетки, полученные в контрольной работе №1. Целью разработки алгоритма и программы специализированной микроЭВМ является обеспечение требуемого времени t_i и точности _p.i < _доп.i вычисления каждой функции f_i, а также определение требуемой емкости постоянной (L_ПЗУ) и оперативной (L_ОЗУ) памяти.

При выполнении контрольной работы №2 в учебных целях рекомендуется ориентироваться на микропроцессорный комплект К580.

При фиксированной длине машинного слова, равной одному байту, требуемая точность арифметических операций достигается программным путем.

Для приведения исходных данных, промежуточных и окончательных результатов к диапазону изменении машинных чисел необходимо выполнить масштабирование. Процесс масштабирования заключается в умножении каждой физической переменной z на соответствующий масштабный множитель m_z для получения ее машинного изображения z : z = m_z z.

Целью масштабирования является исключение выхода машинных переменных за пределы рабочей зоны, обеспечение заданной точности решения при минимальном числе операций перемасштабирования и обеспечение согласования диапазонов исходных данных и результатов с сигналами устройств ввода и вывода.

В специализированных микроЭВМ используют, как правило, представление чисел с фиксированной запятой, причём запятая фиксируется левее старшего разряда машинного изображения числа, поэтому абсолютная величина машинной переменной должна удовлетворять условию z  1 – 2^-n, где n – число разрядов в машинном изображении числа. На масштабный множитель в этом случае накладывается ограничение m_z  (1 – 2^-n) /  z _max.

Цена единицы младшего разряда машинного изображения числа 2^-n/m_z определяет погрешность вычислений. Если эта цена слишком велика, следует увеличить число разрядов n, либо m_z. Выбор масштабов, кратных основанию системы счисления m_z =2^d, где d – целое число или 0, упрощает операции масштабирования. Однако, если значения m_z существенно отличаются от (1 – 2^-n) /  z _max, из-за сокращения используемого диапазона представления машинных чисел может потребоваться увеличение числа разрядов n.

2.2 Решение контрольной работы №2

Для расчета используем функции: f₁ (x₁, x₂, x₃) = x₂(x₁²+x₃) и f₂ (x₁, x₂, x₃) = (x₁x₂x₃),  x₁ _max = b₁ = 30,  x₂ _max = b₂ = 10,  x₃ _max = b₃ = 20, n_оп.1 = 8, n_оп.2 = 10.

Рассмотрим функцию f₁ (x₁, x₂, x₃) = x₂(x₁²+x₃). В данном случае  x₁ _max = b₁ = 30,  x₂ _max = b₂ = 10,  x₃ _max = b₃ = 20, n_оп.1 = 8, поэтому m_x1-1  (1 – 2^-8)/ x₁ _max = m_x1-1  (1 – 2^-8)/30 = 0,996/30 ≈ 1/32, m_x1-2  (1 – 2^-8)/  x₂ _max = (1 – 2^-8)/10 = 0,996/10 ≈ 3/32, m_x1-3  (1 – 2^-8)/  x₃ _max = (1 – 2^-8)/20 = 0,996/20 ≈ 3/64 (подойдет и 51/1024). Соответственно, окончательно получим: m_x1-1 = 1/32, m_x1-2 = 3/32, m_x1-3 = 3/64.

Представим функцию в виде f₁ = y = s_1-1s_1-2, где s_1-1 = x₂ и s_1-2 = (x₁²+x₃). Введем масштабы m_s1-1 и m_s1-2 для s_1-1 и s_1-2, соответственно. Тогда для s_1-1 имеем:

,

где .

Найдем |S_1-1|_max = x₂ = 10 и из условия:

10,

выбираем ближайшее значение . = min{ , } = min { , 3/32} = 3/32, .

Для s_1-2 = (x₁²+x₃) имеем:

где ;

Поскольку , масштаб должен быть квадратом целого числа.

Для суммы s_1-2 имеем:

|S_1-2|_max = x₁²+x₃ = 30² + 20 = 920 и из условия:

920

выбираем ближайшее значение . Тогда:

,

,

Рассмотрим функцию f₂ (x₁, x₂, x₃) = (x₁x₂x₃),  x₁ _max = b₁ = 30,  x₂ _max = b₂ = 10,  x₃ _max = b₃ = 20, n_оп.2 = 10, поэтому:

m_x2-1  (1 – 2^-10)/ x₁ _max = m_x2-1  (1 – 2^-10)/30 = 0,999/30 ≈ 1/32,

m_x2-2  (1 – 2^-10)/  x₂ _max = (1 – 2^-10)/10 = 0,999/10 ≈ 3/32,

m_x2-3  (1 – 2^-10)/  x₃ _max = (1 – 2^-10)/20 = 0,999/20 ≈ 3/64.

Соответственно, при m_x2-1 = 1/32, m_x2-2 = 3/32, m_x2-3 = 3/64 окончательно получим масштаб произведения:

m_p = m_x2-1 · m_x2-2 · m_x2-3 = (1/32) · (3/32) · (3/64) = 9/65536 = (3²)/(2¹⁶) = (3/2⁸)².

Найдем:

.

Масштабные коэффициенты , , хранятся в ПЗУ в двоичной системе счисления:

,

Поскольку и , машинные вычисления для функции f₁ производятся по формуле . Для масштабирования к одной операции умножения добавляется еще одна операция умножения, поэтому общее число операций умножения и округления становится равным n_умн.1 = l_окр.1 = 2 + 1 = 3, число сложений n_сл.1 = 1.

Поскольку операнды – однобайтные числа, операция сложения на МП К580 с помощью команды ADD M требует _сл = 7 тактов. Для выполнения умножений в формате 8 · 8 = 16 используем подпрограмму У88В, для которой _умн = 499 тактов. Длина подпрограммы У88В L_У88В = 22 байта. Если на МП К580 работает на частоте f = 2 МГц, вычисления f₁ составит примерно:

t₁  (n_сл.1 · _сл + n_умн.1 · _умн)/ f = (1 · 7 + 2 · 499)/2 = 503 мкс.