3. Бетонные и железобетонные конструкции, работающие на изгиб. Расчет прочности изгибаемых элементов по нормальным сечениям. Элементы с одиночной и двойной арматурой. Расчетные формулы.

1. Примерами изгибаемых элементов являются плиты и балки.

Плитой называют конструкции, имеющую малую толщину h по сравнению с пролетом L и шириной b.

Балкой называют конструкцию, у которой размеры попереч­ного сечения h и b значительно меньше её пролета L .

П л и т ы. Толщину плит назначают возможно меньшей, так как их масса составляет значительную долю постоянной нагрузки на конструкцию. Минимальная толщина плиты должна удовлетворять требованиям прочности и жесткости.

Толщину монолитных плит принимают кратной 10 мм, но не менее

40 мм - для покрытий;

50 мм - для междуэтажных перекрытий гражданских зданий;

60 мм - для междуэтажных перекрытий промышленных зданий.

Минимальная толщина сборных плит 25 – 35 мм. Армируют плиты сварными сетками. Сетки располагают в соответст­вии с эпюрой изгибающих моментов со стороны растянутых волокон. Сетки изготавливают из стержней рабочей диаметром 3-12 мм и распределительной арматуры диаметром 3 - 8 мм. Рабочие стержни располагают на участке с максимальным моментом, шагом 100 - 200 мм, на остальных участках плиты шаг должен быть не более 400 мм.

Распределительные стержни обеспечивают правильное положение рабочих стержней арматуры при бетонировании, воспринимают не учитываемые расчетом усилия от усадки бетона, распределитель­ные стержни имеют шаг 250+350 мм, площадь поперечного сечения не менее 10% от сечения рабочей арматуры.

Б а л к и. Железобетонные балки могут иметь прямоугольное, тавровое, двутавровое или трапециевидное сечение. Высота h балок изменяется в широких пределах и в зависимости от нагру­зок и назначения конструкции и составляет:

h = ( 1/10 + 1/20) L ; кратно модулю 50 мм при h < 600 мм;

красно модулю 100 мм при h > 600 мм. Ширина балок составляет- b=(0,25+0,5)h.

Плиты и балки армируютcя в соответствии с эпюрами изгибающих моментов. Строительные нормы и правила устанавливают ряд конструктивных требований к армированию плит и балок, например, за грань опоры должен заходить хотя бы один поперечный стержень, приваренный ко всем доводимым до опоры рабочий стержням.

Защитный слой бетона a>10 мм при h< ЮО мм ; и a > 15 мм при h > 100 мм.

В железобетонных балках одновременно с изгибающим моментом М действуют и поперечные силы Q , что вызывает необходимость установки поперечной арматуры (количество её определя­ется расчетом и конструктивными требованиями). В балках вместо поперечных стержней могут устанавливаться наклонные стержни.

1.2. Изгибаемые элементы разрушаются в зависимости от характера нагрузки и армирования элемента по наклонным или нормальным сечениям.

Рассмотрим напряженное состояние железобетонных элементов по нормальная сечениям. При непрерывном увеличения силы или момента разрушению элемента предшествуют три стадии.

Стадия 1 напряженного состояния элемента отвечает малым нагрузкам и малым напряжениям, деформации бетона также малы и пропорциональны напряжениям. На этой стадии бетон и арматура работают в пределах упругости и совместно воспринимают растягивающие усилия.

По стадии 1 работают изгибаемые бетонные элементы, в кото­рых не допускается появление трещин в бетоне при эксплуатации.

Стадия II соответствует нагрузкам, при которых напряжение в крайнем волокне растянутой зоны превышает пре­дел прочности бетона на растяжение. В этой стадии бетон растянутой зоны с появлением трещин не принимает участие в работе элемента, и все растягивающие усилия восприни­маются рабочей арматурой, напряжение в которой еще не достигают предела текучести .

По стадии II рассчитывают балки на раскрытие трещин.

Стадия III соответствует нагрузке, при которой напряжения в растянутой арматуре достигают предела текучести . Под влиянием значительного удлинения арматуры резко сокращается высота сжатой зоны и напряжения в бетоне достигают предела прочности бетона на сжатие при изгибе. В результате начинается раздробление бетона и разрушение элемента - наступает предельное состояние по прочности.

Предельное состояние сечения и характер разрушения элемен­та зависит от процента армирования и марок стали и бетона. Предельное состояние наступает в результате исчерпания проч­ности арматуры растянутой зоны или бетона сжатой зоны.

При проценте армирования , приведенного в норма­тивных документах, несущая способность сжатой зона бетона больше несущей способности растянутой арматуры. если элемент, в котором , довести до разрушения, напряжения в растя­нутой арматуре достигают - предела текучести раньше, чем будет исчерпана прочность сжатой зоны бетона. Это будет случай предельного состояния по прочности растянутой армату­ры.

При процентах армирования , несущая способность растянутой арматуры равна несущей способности сжатой зоны бетона, это будет случай предельного состояния как по проч­ности растянутой арматуры, так и по прочности сжатой зоны бетона. Наступление предельного состояния одновременно по прочности арматуры на растяжение и бетона на сжатие (для бетона класса В35 и ниже) будет иметь место при условии

где - статический момент площади бетона сжатой зоны сечения относительно центра тяжести растянутой арматуры ;

- статический момент всей рабочей площади сечения относительно центра тяжести растянутой арматуры.

Если процент армирования , несущая способность растянутой арматуры больше несущей способности сжатой зоны бетона, такие сечения являются пере армированными, их разру­шение начинается в сжатой зоне бетона. Для увеличения несущей способности сжатой зоны бетона, а следовательно, и всего сече­ния, сжатая зона бетона усиливается сжатой арматурой, получа­ются сечения с двойной арматурой.

Расчет прочности изгибаемых элементов по нормальным сече­ниям рассмотрим на примере элемента с прямоугольным и тавровым поперечным сечением.

Рассмотрим железобетонный элемент с нормальным сечением, изгибаемый моментом.

Расчет выполняется для предельного состояния в конце стадии III, в котором сопоставляют расчетный момент M , вычисленный при значениях внешних нагрузок, с моментом внутренних сил, вычисленным при значениях сопротивлений сжатого бетона и растянутой и сжатой арматуры.

Для упрощения вычислений в расчетной схеме принято равномерное распределение напряжений бетона в сжатой зоне вместо неравномерного (криволинейного), в следствии чего нижнюю границу сжатой зоны принимаю - условно несколько выше криволинейной.

Прочность изгибаемого элемента по нормальному сечению рассчитывают, исходя из условия, что момент oт внешних наг­рузок не превышает сумму моментов внутренних усилий; моменты принимают относительно одной и той же точки (равнодействующей усилий в растянутой арматуре):

где - площадь бетона сжатой зоны;

- площадь сжатой арматуры;

- площадь растянутой арматуры.

Положение границы сжатой зоны (расстояние Х) определяется из условия равенства нулю суммы проекций всех внутрен­них усилий в бетоне и арматуре на ось элемента

Рассмотрим несколько подробнее как производится расчет прочности изгибаемых элементов прямоугольного сечения с однорядной арматурой по нормальным сечениям. Для этого учтем, что сжатая арматура в элементе отсутствует, т.е. = 0. тогда условие прочности будет иметь вид:

Величина сжатой зоны определиться из выражения:

Введем понятие относительной высоты сжатой зоны элемента

где - высота элемента за вычетом бетонного защитного слоя растянутой арматуры. С увеличением или увеличивается X и, следовательно относительная высота . Существует граничное значение при превышении которого разрушение элемента будет начинаться со стороны сжатой зоны.

для арматуры классов A-I - A-III, Вр-1 ненапрягаемой ;

- в МПа;

= 0,85 для тяжелых бетонов.

Подставив в выражение для значение х получим

где - коэффициент армирования;

- процент армирования

Эти формулы свидетельствуют о том, что элемент невозможно армировать до бесконечности. Если ли мы армируем элемент таким образом, что то разрушение начинается со стороны сжатой зоны железобетонного элемента, т.е. выполняется условие .

СНиПом также устанавливается и минимальная величина процента армирования элемента. При несущая способность элемента проверяется при

Допускается учитывать превышение несущей способности элемента, подставляя в расчетные формулы вместо .

Для упрощения расчетов формулы преобразуют, выделяя в них параметры и для которых составлены числовые таблицы:

где

Обычно рассматриваются три типа задач:

а) найти ; б) найти ; в) проверить прочность элемента.

На конкретных примерах поясним ход решения этих задач.

Пример № 1. Определить рабочую высоту элемента, если известны .

Ход решения: по заданному коэффициенту армирования находим значение по формуле

;

определяем из выражения

заметим, что если ширина b не задана, тo ей можно задаться.

Пример № 2. Определить площадь арматуры или коэффициент армирования элемента, если известны .

Ход решения: определяем значение по формуле

По таблицам выбираем значение  соответствующее вычисленному значению . Определяем или при необходимости по формулам:

Пример № 3. Проверить прочность элемента, если известно .

Ход решения: определяем относительную высоту сжатой зоны бетона по формуле

Вычисляем граничное значение формуле приведенной в СниП при выполнении условия . условие прочности элемента

где

При выполнении условия несущую способность элемента проверяют при

Условие прочности элемента будет иметь вид:

Рассмотрим особенности расчета изгибаемых элементов таврового сечения.

Элементы таврового сечения более рациональны, т.к. в них меньшая площадь не работающего бетона в растянутой зоне.

В соответствии со СНиП вводимая в расчет ширина свесов в каждую сторону oт ребра должен быть не более 1/6 пролета и не более:

а) при наличии поперечных ребер или при - 1/2 расстояния в свету между продольными ребрами;

б) при отсутствии поперечных ребер или при расстоянии между ними больших, чем расстояния меду продольными ребрами, и -

при консольных свесах полки

при ........................

при ......…... 3

при ............... свесы не учитываются. При расчете балок таврового сечения различают два случая:

а) сжатая зона бетона находится в пределах полки,

б) сжатая зона бетона находится ниже полки .

При т.е., когда сжатая зона бетона находится в пределах полки расчет ведут также как и для прямоугольных поперечных сечений железобетонных элементов с размерами и , поскольку площадь растянутого бетона не влияет на несущую способность. Для расчета используются те же формулы, полученные ранее для прямоугольного сечения с одиночной арма­турой, в которых b заменяют - . При относительно тонкой полке ( ) можно принять и для определения площади арматуры пользоваться приближенной формулой

Если граница сжатой зоны проходит в ребре, , то расчет производится следующим образом в зависимости от относительной высоты сжатой зоны :

При из условия

При из условия

где A₁, A_R - коэффициенты принимающие значения :

;

;

При напрягаемой арматуре растянутой зоны классов А-111 и А-111в значение (А₁+А_R)/2 заменят на A_R в предпослед­нем выражении.

Рассмотрим расчет изгибаемых элементов по нормальным сечениям с двухрядной арматурой. Второй ряд арматуры ставят:

а) для усиления сжатой зоны элемента;

б) в зоне действия знакопеременного момента;

в) для усиления сечения.

В соответствии с расчетной схемой условие прочности имеет вид

где - момент, воспринимаемый сжатой зоной бетона и соответствующей частью растянутой арматурой;

- момент воспринимаемый сжатой арматурой и соответствующей частью растянутой.

Уравнение проекций всех сия на горизонтальную ось имеет вид:

Подбор площади растянутой и сжатой арматуры производится в следующей последовательности. В выше приведен­ных двух уравнениях оказываются три неизвестных , , x. Вследствие этого принимается дополнительное условие, которое отвечает экономическим требованиям. Исследования показывают, что сечение будет наиболее экономич­ным, когда на бетон передастся максимально возможное сжимаю­щее усилие. Это будет иметь место при . В этом случаи сжатая арматура воспримет момент

где

Из последнего уравнения находим

Площадь растянутой арматуры , получим из условия равенств нулю проекций всех сил на горизонтальную ось, принимаем находим:

Выше приведенными формулами можно пользоваться при .

В противном случае сжатая арматура окажется вблизи нейтраль­ной оси и напряжений в ней будут меньше .