1.1.3 Арифметические действия в системах счисления
Правила выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления сохраняются и для других позиционных систем счисления.
Сложение
Складываем сначала единицы, потом десятки и т.д. до тех пор, пока не дойдем до старшего разряда. При этом всегда помним, что когда при сложении чисел в каком-либо разряде получается сумма, большая чем основание, то надо сделать перенос в следующий разряд.
Н
+
+
170438 100112
427148 1 111 0102
Вычитание
Производится аналогично сложению.
Н
-
-
10 001, 11112 705, 628
100, 11102 10 170, 178
Умножение
Основой для перемножения любых чисел служит таблица умножения. Все числа записываются в той системе счисления, в которой перемножаются.
Н
x
апример 173,
2618
16, 358
+
562023
1344046
173261
3366,566158
Некоторые таблицы умножения
Двоичная с.с.
-
0
1
0
0
0
1
0
1
Восьмеричная с.с.
-
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
Деление
Производится аналогично умножению.
Н
-
1001 11000101
-
1001
-
1001
-
1001
0
1.1.4 Перевод чисел из одной системы в другую
Для перевода чисел из одной системы в другую разработаны специальные алгоритмы. Алгоритм – это набор команд, написанных для решения поставленной задачи, и условий, определяющих порядок их выполнения. Каждая команда пишется на отдельной строке.
В данной работе рассматриваются алгоритмы переводов только целых положительных чисел.
BpAq
1 способ
Делим число В на q в целых числах. Полученный при этом остаток дает цифру, стоящую в первом (младшем) разряде числа А. Затем частное снова делим на q и берем второй остаток – цифра второго разряда и т.д. Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим частное, меньшее основания системы счисления. Это частное – цифра старшего разряда. Деление производится в р-ичной системе счисления.
Например 5610 Х2
-
2
4 28 2
1 6 2 14 2
1 6 8 14 7 2
0 8 0 6 3 2
0 1 2 1
Х=1110002
Перевод целой и дробной части осуществляют отдельно.
Для перевода дробной части числа BpAq необходимо дробь в р-ичной системе умножить на основание q. Целая часть полученного произведения равна первой цифре q–ичной записи дроби. Процесс продолжают до тех пор, пока не получим целое число или до требуемой точности.
Например 0,127510 А8 с точностью до пятого знака после запятой
0
x
x
x
x
8 8 8 8 8
1,0200 0,16 1,28 2,24 1,92
А=0,101218
2 способ
Этот способ применяется в тех случаях, когда справедливо соотношение p = qk ,
где k=1,2,…(Например, p = 8, q=2, k=3).
Перевод производят поразрядно, заменяя каждую р-ичную цифру равным ей k–разрядным числом.
Двоичное число разбиваем на тройки чисел справа налево. Для каждой тройки двоичного числа записываем его эквивалент из приведенной выше таблицы.
Пример. 1 010 110 101 1112== 126578
Обратный перевод чисел очевиден. Необходимо только аккуратно писать именно тройки двоичных чисел, дописывая при необходимости нули слева: 18.==0012, 28 ==0102.Незначащие нули слева от числа можно не писать.
Пример. 226578==010 010 110 101 1112=10 010 110 101 1112