Пример решения задачи о назначениях венгерским методом.

Постановка задачи: имеется 5 бригад с номерами М₁, М₂, М₃, М₄, М₅. Они способны выполнить 5 видов работ с номерами Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, Т₅. Известно, что в силу разной квалификации на выполнение этих работ им потребуется различное время. Себестоимость выполнения каждой бригадой определённых видов работ представлена в таблице 1.

Таблица 1.

Бригада	Виды работ
	Т1	Т2	Т3	Т4	Т5
М1	1	1	3	2	1
М2	5	2	3	1	3
М3	4	5	1	2	4
М4	1	7	1	3	5
М5	2	10	1	4	6

Необходимо распределить бригады таким образом, чтобы общая себестоимость выполнения всех работ была минимальной.

Решение.

Данная задача о назначениях будет решена венгерским методом.

Алгоритм решения:

Подготовительный шаг: Получение нулей в каждой строке и каждом столбце матрицы.

Матрица себестоимостей выполнения работ каждым работником имеет вид:

1 1 3 2 1 1

5 2 3 1 3 1

С_ij = 4 5 1 2 4 1

1 7 1 3 5 1

2 10 1 4 6 1

Находим наименьший элемент в каждой строке (в нашей задаче 1), который вычитаем из всех элементов строки.

Получаем новую матрицу, у которой в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент:

0 0 2 1 0

4 1 2 0 2

С₁ = 3 4 0 1 3

0 6 0 2 4

1 9 0 3 5

Первый шаг: Проверка числа независимых нулей в полученной матрице.

Н еобходимо вычеркнуть все нули в матрице минимальным числом линий.

0 0 2 1 0

4 1 2 0 2

С₁ = 3 4 0 1 3

0 6 0 2 4

1 9 0 3 5

Получаем 4 линии зачёркивания, то есть это означает, что число независимых нулей в матрице меньше размерности задачи (4<5).

Второй шаг: Выбираем из не зачёркнутых элементов самый маленький: γ = 1. Строим новую матрицу с учётом равенства (1.1).

0 0 3 1 0

4 1 3 0 2

С₂ = 3 3 0 0 2

0 6 1 2 4

0 8 0 2 4

В озвращаемся к первому шагу, то есть, проверяем на оптимальность полученную матрицу С₂. Получаем 4 линии зачёркивания, а соответственно 4 независимых нуля, что снова меньше размерности матрицы (4<5). Следовательно, переходим к шагу второму. Самый наименьший среди не зачёркнутых элементов γ = 1. Строим новую матрицу с учётом равенства (1.1).

1 0 4 2 0

4 0 3 0 1

С₃ = 2 2 0 0 1

0 5 1 2 3

0 7 0 2 3

Возвращаемся к первому шагу, то есть, проверяем на оптимальность полученную матрицу С₃. Получаем 5 линий зачёркивания, а соответственно 5 независимых нулей, что равно размерности задачи (5=5). Это означает, что оптимальное решение уже получено. Независимые нули выделены и подчёркнуты в матрице С₃.

Д ля окончательной записи полученного решения необходимо в матрице С₃ вместо независимых нулей поставить единицы, а вместо остальных элементов – нули. Соответствующая матрица «назначений» имеет вид:

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0

С_опт = 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

Таким образом, для того чтобы получить минимальные затраты Ф^* = С₁₅ + С₂₂ + С₃₄ + С₄₁ + С₅₃;

Ф^* = 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7;

необходимо назначить первую бригаду на пятый вид работы, вторую бригаду - на второй вид работы, третью бригаду – на четвёртый вид работы, четвёртую бригаду – на первый вид работы, пятую бригаду – на третий вид работы.

ЗАДАНИЯ для выполнения лабораторной работы

(Табл. 3.1)

Имеется 5 бригад и 5 видов работ, которые необходимо распределить между бригадами, при чем каждая работа может быть выполнена только одной бригадой, а каждая бригада может быть назначена только на один участок; с_ij – длительность ведения работ, если i-ая бригада назначена на j-ый участок.

Таблица 3.1

Вариант	Бригада	Виды работ
		1	2	3	4	5
1	1	3	4	2	2	1
	2	4	5	3	1	3
	3	4	3	1	1	1
	4	3	1	2	2	2
	5	1	3	1	2	1
2	1	1	1	3	2	1
	2	5	2	3	1	3
	3	4	5	1	2	4
	4	1	7	1	3	5
	5	2	10	1	4	6
3	1	2	5	16	2	2
	2	0	7	8	5	10
	3	4	17	6	3	3
	4	6	11	11	7	8
	5	6	12	2	13	12
4	1	11	1	6	3	7
	2	6	14	10	4	5
	3	13	0	15	9	13
	4	5	8	15	4	5
	5	12	12	14	15	7
5	1	1	7	0	1	6
	2	2	1	8	1	6
	3	8	6	7	2	0
	4	6	3	2	10	9
	5	9	2	3	5	7
6	1	13	15	11	13	8
	2	5	5	9	5	8
	3	6	10	0	19	19
	4	10	5	14	16	2
	5	1	11	11	19	1
7	1	13	21	7	4	4
	2	22	19	12	14	12
	3	20	15	13	16	8
	4	14	6	20	8	3
	5	14	12	9	9	16

Продолжение табл. 3.1

Вариант	Бригада	Виды работ
		1	2	3	4	5
8	1	10	11	6	10	12
	2	14	7	17	9	4
	3	12	15	10	12	8
	4	9	12	7	9	10
	5	12	6	10	11	13
9	1	18	8	3	5	9
	2	21	21	3	3	12
	3	19	13	18	25	0
	4	13	21	18	18	16
	5	0	24	12	2	18
10	1	10	11	0	3	12
	2	14	7	4	6	17
	3	18	5	4	13	15
	4	8	11	6	4	12
	5	18	8	1	1	0
11	1	1	7	4	1	9
	2	3	7	4	4	5
	3	8	0	2	4	4
	4	9	4	1	5	8
	5	9	5	4	1	3
12	1	1	2	3	5	5
	2	5	1	1	2	2
	3	5	0	5	0	0
	4	3	0	5	0	4
	5	1	0	1	5	1
13	1	1	7	8	1	6
	2	1	7	9	1	2
	3	5	3	9	1	4
	4	8	6	4	4	2
	5	8	10	1	10	10
14	1	0	29	18	25	20
	2	0	26	20	22	10
	3	5	12	27	22	28
	4	15	9	6	17	0
	5	17	9	3	14	8
15	1	9	7	27	0	18
	2	8	7	3	10	8
	3	11	0	4	12	20
	4	10	6	18	1	16

Окончание табл. 3.1

Вариант	Бригада	Виды работ
		1	2	3	4	5
	5	22	21	13	7	7
16	1	1	7	8	1	6
	2	2	5	9	8	7
	3	5	3	9	3	1
	4	8	6	9	4	2
	5	3	10	1	10	11
17	1	4	7	8	1	1
	2	3	9	9	2	8
	3	5	3	11	1	4
	4	5	6	4	4	2
	5	8	7	1	9	3
18	1	9	7	8	1	6
	2	5	7	7	4	1
	3	5	3	9	2	4
	4	11	6	5	4	7
	5	8	10	1	1	10
19	1	1	5	8	7	6
	2	2	7	9	8	3
	3	3	4	8	1	4
	4	8	6	4	4	2
	5	8	10	1	7	6
20	1	1	7	8	9	10
	2	2	5	9	6	3
	3	3	5	9	1	4
	4	4	3	4	10	12
	5	8	10	1	10	11
21	1	2	5	8	6	11
	2	11	9	4	3	7
	3	5	7	8	12	2
	4	12	2	14	5	7
	5	6	9	1	8	7
22	1	9	7	6	5	3
	2	19	12	13	15	11
	3	9	11	14	12	8
	4	7	5	9	4	8
	5	3	7	5	3	4
23	1	9	5	4	2	6
	2	6	4	7	5	9
	3	1	8	11	5	9
	4	6	10	8	4	2
	5	7	11	8	7	9
24	1	3	6	7	6	11
	2	8	11	5	7	14
	3	9	12	6	9	10
	4	5	9	5	6	8
	5	2	8	7	3	5
25	1	15	9	8	17	4
	2	12	11	11	15	9
	3	17	7	12	13	11
	4	11	8	17	11	18
	5	13	12	14	9	14