Пример решения задачи по закреплению группы потребителей за несколькими поставщиками.

Формулировка задачи:

Имеются три завода по производству бетона А₁, А₂, А₃. На заводе А₁ производится 250 тонн бетона, на заводе А₂ – 200 тонн бетона, на заводе А₃ – 200 тонн бетона. Полученный бетон требуется перевезти в пять строительных объектов: 150 тонн на объект В₁, 120 тонн на объект В₂, 100 тонн на объект В₃, 150 тонн на объект В₄, 130 тонн на объект В₅. Расстояние между заводами-поставщиками бетона и объектами указано в таблице 2 (матрица расстояний или себестоимость перевозок).

Стоимость перевозок пропорциональна количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится. Необходимо спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Ввиду пропорциональности затрат количеству груза и расстоянию для решения задачи достаточно минимизировать общий объём плана, выраженный в тонно-километрах.

В связи с тем, что суммарные ресурсы поставщиков равны общим потребностям потребителей (650 тонн) данная задача является транспортной задачей закрытого типа.

При решении транспортной задачи распределительным методом процесс вычислений включает следующие основные этапы:

1. Составление первоначального (базисного) опорного плана перевозок.

2. Проверку на оптимальность составленного базисного плана.

3. Перераспределение плана поставок в случае не оптимальности полученного плана и проверку его на оптимальность.

4. Вычисление целевой функции.

1. Составление базисного (опорного) плана перевозок.

Наиболее рациональным приёмом составления базисного плана транспортной задачи считается сочетание методов “северо-западного угла” и наименьшего элемента по столбцу или строке. Данное сочетание обеспечивается тем, что, взяв за основу распределения поставок метод “северо-западного угла”, мы варьируем строками и столбцами таблицы так, чтобы клетки с наименьшими, или базисными к ним, затратами оказались загруженными.

Составленный в соответствии с методом “северо-западного угла” базисный план перевозок бетона в строительные объекты приведён в табл. 2. С целью упрощения записи реквизиты данной и последующих таблиц поставленной задачи не приводятся.

Таблица 2

Завод- отправитель	Объект назначения					Ресурсы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	12 150	14 100	20	13	18	250
А2	13	7 20	14 100	12 80	22	200
А3	18	15	25	13 70	21 130	200
Потребности	150	120	100	150	130	650

Суть метода “северо-западного угла” заключается в следующем:

• сначала загружается в максимально-возможной степени первая “северо-западная” клетка;

• после заполнения первой клетки следующей должна загружаться одна из примыкающих к ней клеток в том же столбце, либо в той же строке;

• в случае если возможности перевозки в примыкающую клетку исчерпаны, то в любой из них проставляется нуль, и от неё продолжается процесс последовательного распределения.

Данный приём всегда обеспечивает получение в исходном плане m+n–1 занятых клеток.

Полученный в таблице 2 вариант распределения перевозок бетона в строительные объекты, возможно, не является оптимальным, но он удовлетворяет всем ограничениям задачи. Суммарная величина приведённых затрат по базисному варианту составляет:

S=150×12+100×14+20×7+100×14+80×12+70×13+130×21=

=1800+1400+140+1400+960+910+2730=9340 млн.р.

2. Проверка базисного плана на оптимальность.

На втором этапе определяется возможности улучшения базисного плана с целью уменьшения суммарной величины приведённых затрат на перевозку бетона.

В базисном плане заполнено семь клеток m+n–1 = 3+5–1=7. Восемь клеток остались свободными, так как не учитывались при первоначальном распределении. Следовательно, улучшение базисного плана может произойти, если будут использованы отдельные незанятые клетки вместо занятых. При определении целесообразности использования незанятых клеток необходимо помнить о недопустимости нарушения итоговых величин в строках и столбцах таблицы. Поэтому каждая незанятая клетка анализируется в связи с несколькими (по меньшей мере, тремя) занятыми клетками. Данная связь определяется путём построения циклов.

Циклом в матрице назовём ломаную линию с вершинами в клетках и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов матрицы.

Цикл строится так, что одна из его вершин находится в незанятой клетке, а остальные в занятых, при этом все углы ломаной линии должны быть прямыми.

Возьмём свободную клетку А₁В₃. Если окажется целесообразным занять её, то, чтобы выполнить условие баланса ресурсов и перевозок, необходимо перераспределить поставки в трёх клетках А₂В₃, А₂В₂ и А₁В₂. Эти клетки образуют следующий цикл:

–14 +20

100 *

+7 20 1 00 –14

Поставим в вершинах цикла приведённые затраты C_ij, причём, начиная с незанятой клетки, зададим им последовательно положительные и отрицательные значения.

Просуммируем эти значения + 20 – 14 + 7 – 14 = –1

Для других незанятых клеток эти значения определяем без графического оформления циклов пересчёта. Данные расчётов приведены в таблице 3.

Таблица 3.

Клетка	Сумма затрат
А1В3	+ 20 – 14 + 7 – 14 = –1
А1В4	+ 13 –12 +7 –14 = – 6
А1В5	+18 –21+13–12+17–14= – 9
А2В1	+13 – 7 + 14 – 12 = +8
А2В5	+22– 21 +13– 12 =+ 2
А3В1	+18– 12 +14 –7 +12 –13 =+ 12
А3В2	+15 –7 +12 – 13 = +7
А3В3	+25 –13 +12 – 14= +10

Если сумма затрат, приведённых в таблице 3, для каждой незанятой клетки ≥0, то рассматриваемый опорный план является оптимальным.

Анализ полученных сумм показывает, что только включение в план поставок клетки А₁В₅ приведёт к уменьшению суммарной величины приведённых затрат на 9 р. Для каждой включаемой в этот маршрут тонны бетона.

Таким образом, мы определили, что базисный первоначальный план можно улучшить. Следовательно, он не является оптимальным.

3. Перераспределение плана поставок.

Улучшение базисного плана осуществляется путём включения клетки А₁В₅ в план перевозок, то есть мы берём клетку с наименьшей суммой затрат и делаем сдвиг по циклу пересчёта на величину Ө₀, равную наименьшей из перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла. Таким образом, мы получаем новый опорный план, который лучше предыдущего.

Ө₀=80

Организуем цикл пересчёта для клетки А₁В₅, так как сумма затрат по ней минимальная.

–14 + 18

100 *

20 100 80

+7 –12 70 130

+13 –21

В пределах данного цикла произведём перераспределение перевозок по правилу: в незанятую клетку А₁В₅ осуществляется меньшая перевозка из клеток с отрицательными значениями приведённых затрат. А значит, следует перераспределить по циклу 80 тыс.т. Схема распределения заключается в том, что значение 80 прибавляется в те клетки, у которых величина затрат положительная и отнимается из тех клеток, где это значение отрицательно.

Улучшенный план перевозок, с учётом произведённого перераспределения по циклу пересчёта, приведён в таблице 4.

Таблица 4.

Завод- отправитель	Объект назначения					Ресурсы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	12 150	14 20	20	13	18 80	250
А2	13	7 120	14 100	12	22	200
А3	18	15	25	13 150	21 50	200
Потребности	150	120	100	150	130	650

Суммарная величина приведённых затрат по данному варианту составляет:

S= 150×12+20×14+80×18+100×7+100×14+150×13+50×21=

=1800+280+1440+700+1400+1950+1050=8620 млн.р.

Проверяем полученный план на оптимальность. Для этого снова организуют циклы пересчёта по свободным клеткам и подсчитывают суммы приведённых затрат. Результаты расчётов представлены в таблице 5.

Таблица 5.

Клетка	Сумма затрат
А1В3	+ 20 – 14 + 7 – 14 = –1
А1В4	+ 13 –13 +21 –18 = +3
А2В1	+13 – 7 + 14 – 12 = +8
А2В4	+12–13+21–18+14–7= +9
А2В5	+22– 18 +14– 7 =+ 11
А3В1	+18– 21 +18 –12 =+ 3
А3В2	+15 –21 +18 – 14 = –2
А3В3	+25 –21 +18 – 14+7– 14= +1

Среди сумм приведённых затрат снова есть отрицательные числа, а значит рассматриваемый опорный план не является оптимальным. Улучшение этого плана осуществляется путём включения клетки А₃В₂ в план перевозок, то есть мы берём клетку с наименьшей суммой затрат и делаем сдвиг по циклу пересчёта на величину Ө₁, равную наименьшей из перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла. Таким образом, мы получаем новый опорный план, который лучше предыдущего.

Ө₁=20

Организуем цикл пересчёта для клетки А₃В₂, так как сумма затрат по ней минимальная.

– 14 + 18

20 80

* 50

+15 –21

Улучшенный план перевозок, с учётом произведённого перераспределения по циклу пересчёта, приведён в таблице 6.

Таблица 6.

Завод- отправитель	Объект назначения					Ресурсы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	12 150	14	20	13	18 100	250
А2	13	7 100	14 100	12	22	200
А3	18	15 20	25	13 150	21 30	200
Потребности	150	120	100	150	130	650

Суммарная величина приведённых затрат по данному варианту составляет:

S= 150×12+100×18+100×7+100×14+20×15+150×13+30×21=

=1800+1800+700+1400+300+1950+630=8580 млн.р.

Проверяем полученный план на оптимальность. Для этого снова организуют циклы пересчёта по свободным клеткам и подсчитывают суммы приведённых затрат. Результаты расчётов представлены в таблице 7.

Таблица 7.

Клетка	Сумма затрат
А1В2	+14 – 18+21–15=+2
А1В3	+ 20 – 18 + 21 – 15+7–14 =+ 1
А1В4	+ 13 –18 +21 –13 = +3
А2В1	+13 – 7 + 15 – 21+18–12 = +6
А2В4	+12–13+15–7= +7
А2В5	+22– 21 +15– 7 =+ 9
А3В1	+18– 21 +18 –12 =+ 3
А3В3	+25 –15 +7– 14= +3

В связи с тем, что для каждой свободной клетки результирующие величины оказались положительными, план перевозок бетона строительным организациям, приведённый в таблице 6, не может быть улучшен, что свидетельствует о получении оптимального плана. Целевая функция оптимального плана равна 8580 млн.р.

Задания для самостоятельного выполнения

Номер вари­ анта	Заводы — отправители	Объекты, назначения (объем их спроса Bi ). Матрица расстояний или себестоимость пере­возок
		В1	В2	В3	В4	В5
I	2	3	4	5	6	7
I	А1=250 А2=205 А3=105 В	13 14 20 120	9 5 17 130	22 16 27 90	11 14 18 115	16 22 21 105
2	А1 = 250	12	14	20	13	18
	A2 = 200	13	7	14	12	22
	А3 =200	18	16	25	13	21
	В	150	120	100	150	130
3	А1=410	12	10	6	12	18
	A2=260	15	6	13	15	23
	А3=360	21	18	14	19	22
	В	210	180	240	225	175
4	A1 = 160	9	21	8	12	17
	A2= 210	5	15	13	16	18
	А3=160	16	22	12	13	20
	В	170	70	100	90	100
	A1= 310	13	22	10	11	17
5	А2 =290	14	16	12	14	18
	А3= 230	20	27	13	18	21
	В	160	150	200	130	170
	A1= 260	13	10	8	12	17
6	A2= 190	5	4	13	3	13
	А3= 280	6	18	10	5	12
	В	170	130	110	150	170
7	A1= 290	29	13	8	19	8
	А2 = 310	36	15	13	16	4
	А3 = 230	31	17	12	26	16
	В	180	130	190	140	190
8 .	A1= 160	15	7	5	10	5
	A2= 260	18	II	10	12	6
	А3= 210	16	12	7	14	9
	В	180	130	100	105	115
9	A1= 340	5	10	9	13	17 1
	A2 = 290	16	5	3	10	8
	А3= 340	II	7	18	9	13
	В	150	150	170	220	280
10	A1= 260	10	16	36	21	8
	А2= 410	16	36	13	12	7
	А3= 360	17	20	41	16	26
	В	310	170	220	190	140
11	A1= 260	13	8	17	5	12
	A2 = 260	20	10	7	11	10
	А3= 210.	2	5	8	4	7
	В	120	по	95	205	200
12	A1 = 170	5	14	13	17	13
	A2 = 410	25	15	6	4	15
	А3 = 250	12	5	$	17	8
	В	170	190	150	190	130
13	A1 = 290	6	2	8	14	34
	A2 = 230	2	9	II	19	45
	А3= 310	14	10	15	18	47
	В	190	150	190	130	170
14	A1= 240	6	8	15	9	15
	A2= 340	12	11	17	11	19
	А3= 290	18	14	9	12	12
	В	150	170	180	200	170
15	А1=280	5	8	9	15	10
	А2=350	16	12	7	18	12
	А3=390	14	19	II	13	23
	В	190	160	2Ь0	200	230
16	A1= 160	21	4	10	15	35
	A2= 160	15	И	13	21	47
	A3= 210	26	12	17	20 .	48
	В	100	70	140	120	100
17	A1= 230	20	1	12	3	18
	A2= 410	6	9	8	5	16
	А3= 290	3	7	12	7	24
	В	170	190	180	200	190
18	A1= 360	6	14	19	18	9
	А2= 410	7	II	16	7	4
	А3= 260	16	22	10	17	18
	В	175	225	240	180	210
19	A1= 310	13	4	16	7	10
	A2= 340	20	11	18	14	24
	А3= 380	20	11	5	8	18
	В	270	160	200	210	190
20 \	A1= 210	8	5	16	10	7
	A2= 260	12	3	8	4	6
	А3= 160	5	6	13	9	5
	В	130	190	115	90	105
21	A1= 230	6	11	9	11	10
	A2= 340	14	6	8	20	8
	А3= 250	7	9	5	14	7
	В	260	160	200	120	170
22	A1= 240	7	10	12	5	8
	A2= 260	8	5	9	6	9
	А3= 150	4	6	8	7	11
	В	150	100	110	120	170
23	A1= 200	11	10	8	7	5
	A2= 260	8	4	9	6	7
	А3= 140	3	5	7	9	5
	В	150	100	110	120	120
24	A1= 180	15	10	11	10	9
	A2= 260	8	7	5	4	5
	А3= 140	6	9	8	3	6
	В	150	100	110	100	120
25	A1= 200	11	8	4	5	12
	A2= 260	9	10	6	7	11
	А3= 240	7	12	9	3	7
	В	180	140	110	150	120