1.3. Транспортная задача

Транспортная задача – это задача о выборе плана перевозок однородного продукта из пунктов производства в пункты потребления.

Постановка задачи и исходные теоретические положения её решения.

Сущность транспортной задачи заключается в том, чтобы определить оптимальный план перевозок однородного груза в соответствии с выбранным критерием от m-поставщиков к n-потребителям.

Сформулируем транспортную задачу в общем виде:

Задано (k) общее количество (ресурсы) груза у каждого из поставщиков (А₁,А₂, …,А_m) и потребность каждого получателя груза (В₁,В₂, …,В_n). Известно также, что расстояние перевозки (или стоимость перевозки единицы перевозимого однородного груза) от i-го поставщика (i= 1,2, …,m)

j-му потребителю (j=1,2, …,n) составляет С_ij, а соответствующий объём перевозок Х_ij.

Экономико-математическая модель сформулированной выше задачи может быть представлена матрицей, приведённой в таблице 1.

Таблица 1

Поставщики	Потребители				Ресурсы
	1	2	…	n
1	С11 Х11	С12 Х12	…	С1n Х1n	А1
2	С21 Х21	С22 Х22	…	С2n Х2n	А2
…	…	…	…	…	…
m	Сm1 Хm1	Сm2 Хm2	…	Сmn Хmn	Аm
Потребности	В1	В2	…	Вn

Необходимо рассчитать такую схему прикрепления потребителей и поставщиков, чтобы общий грузооборот (ткм) или суммарная стоимость перевозок (млн.р.) были минимальными.

Математически условия транспортной задачи запишутся следующим образом.

М инимизировать целевую функцию f(x)=С₁₁ Х₁₁ + С₁₂ Х₁₂ + … + С_mnХ_mn

При условиях: Х₁₁ + Х₁₂ + … + Х_1n = А₁

Х₂₁ + Х₂₂ + … + Х_2n = А₂

……………………………….

Х_m1 + Х_m2 + … + Х_mn = А_m

Х ₁₁ + Х₂₁ + … + Х_m1 = В₁

Х₁₂ + Х₂₂ + … + Х_m2 = В₂

……………………………….

Х_1n + Х_2n + … + Х_mn = В_n

Х_ij ≥ 0

В сокращённой форме можно записать:

При ограничениях:

Х_ij = А_i , i = 1,2, …, m;

= В_j , j = 1,2, …, n;

Х_ij ≥ 0

Транспортная задача включает mn- переменных и m+n- ограничений.

Представленная в таблице 1 модель транспортной задачи, в которой суммарные ресурсы поставщиков равны общим потребностям потребителей, называется закрытой моделью транспортной задачи.

При этом соотношение

А_i = В_j

характеризует совместимость ограничивающих уравнений транспортной задачи. В практике экономических расчётов чаще имеют место открытые модели, в которых указанное выше равенство не соблюдается, то есть баланс производства и потребления продукции не равен нулю.

Если ресурсы поставщиков превышают потребности потребителей, условия транспортной задачи формируются следующим образом:

Х_ij = А_i , i = 1,2, …, m;

= В_j , j = 1,2, …, n;

Х_ij ≥ 0

Так как не все ресурсы поставщиков используются, первая группа ограничивающих условий имеет форму неравенств, которые можно преобразовать в уравнения, включив в данную постановку транспортной задачи условного потребителя n+1 с потребностью Х_i,n+1 , равной разности: А_i – В_j.

Если потребности потребителей превышают наличные ресурсы поставщиков, условия транспортной задачи будут сформулированы следующим образом:

Х_ij = А_i , i = 1,2, …, m;

≤ В_j , j = 1,2, …, n;

Х_ij ≥ 0

В этом случае совместность ограничивающих условий будет достигнута, если включить в модель задачи условного поставщика m+1 , ресурсы которого Х_m+1,j будут равны разности:

В_j – А_i.

Указанные выше преобразования открытой транспортной задачи приводят её к модели закрытого типа, и она решается на оптимум по одному из выбранных методов. При этом дополнительные переменные С_i,n+1 либо С_m+1,j входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.

Транспортная задача содержит m+n–1 независимых уравнений. Поэтому любой её невырожденный первоначальный (базисный) план должен включать m+n–1 поставок. Если план включает меньше чем m+n–1 поставок, его называют вырожденным планом.

Некоторые специальные приёмы позволяют преодолеть вырождение. Это достигается одним из следующих способов:

• путём простой перестановки строк или столбцов;

• включением в базисный план дополнительных клеток с нулевой постановкой.

В настоящее время известно несколько алгоритмов решения транспортной задачи: метод северо-западного угла, распределительный метод, метод потенциалов (или метод МОДИ), метод наименьших стоимостей. В данной курсовой работе будем использовать распределительный метод, основанный на применении симплекс-метода.