Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Issledovanie_operatsy_kursovaya.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.5 Mб
Скачать

I. Задачи линейного программирования

Задачи управления и планирования обычно сводятся к выбору некоторой системы параметров и некоторой системы функций. Эти параметры и функции называют характеристиками управления. Чтобы иметь основание отдавать предпочтение тем или иным значениям параметров планирования и тем или иным управляющим функциям, необходимо, прежде всего, чётко определить два обстоятельства. Во-первых, следует сформулировать и выразить через искомые характеристики показатель качества – некий критерий функционирования данной модели, определяющий соответствие разрабатываемых устройств и планов цели, ради которой эта разработка ведётся. Во-вторых, необходимо выяснить условия работы системы и вытекающие отсюда ограничения, которым должны удовлетворять искомые характеристики.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x1, x2, …,xn) при условиях gi (x1, x2, …, xn) ≤ bi (i=1,m) , где f и gi – заданные функции, а bi – некоторые действительные числа.

Такая задача получила название задачи математического программирования.

При этом функциональная зависимость, характеризующая качество функционирования системы, называется целевой функцией:

п ри таких ограничениях:

Условия, наложенные на параметры системы, называются ограничениями задачи. Ограничения могут задаваться в виде уравнений и неравенств.

При решении конкретной задачи приходится конкретизировать функциональные зависимости, которые используются для описания функционирования системы. В зависимости от вида используемых функций выделяют: задачи линейного программирования и задачи нелинейного программирования.

1.1.Графическое решение задач линейного программирования

Довольно часто во многих областях практики встречаются задачи оптимизации решений, для которых характерны следующие черты:

- показатель эффективности W представляет собой линейную функцию от элементов решения x1, x2, …;

- на решение накладывается ряд ограничительных условий в виде равенств или неравенств.

Такие задачи принять называть задачами линейного программирования.

Несмотря на требование линейности функций и ограничений, в рамки линейного программирования попадают многочисленные задачи распределения ресурсов, управления запасами, сетевого и календарного планирования, транспортные задачи и прочие.

Общая постановка задачи.

Пусть имеется ряд переменных:

.

Требуется найти такие значения этих переменных, которые бы максимизировали (минимизировали) функцию:

удовлетворяли системе линейных ограничений:

и, кроме того, выполнялось:

где - заданные коэффициенты.

Для удобства используется следующая более короткая запись:

Заметим, что система ограничений (2) может содержать как неравенства ( ), так и равенства.

Оптимизируемая линейная функция L называется целевой функцией, а её оптимальное значение обозначают L*. Случай, когда функцию L надо минимизировать, легко сводится к предыдущему, если, изменив знак рассмотреть вместо нее функцию:

Допустимым решением задачи называется любая совокупность переменных , удовлетворяющая условиям (2) и (3). Объединение всех таких решений образует допустимое множество решений R.

Оптимальным решением будем называть то из допустимых решений, при котором целевая функция обращается в максимум (минимум).

Графический метод решения задачи.

Если общее количество неизвестных переменных то такую задачу легко можно решить графическим методом. Будем рассматривать задачу следующего вида:

Для отыскания ее оптимального решения необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Построить допустимое множество R.

Очевидно, что каждое ограничение вида (5) и (6) определяет некоторую полуплоскость в случае неравенства и прямую в случае равенства. Соответственно, допустимое множество решений задачи есть пересечение всех этих полуплоскостей и прямых.

Пусть ограничение имеет вид:

.

Чтобы изобразить соответствующую полуплоскость необходимо провести прямую и далее подставив точку, не лежащую на данной прямой проверить, будет ли выполняться (7). Если да, то выбрать полуплоскость, содержащую данную точку, иначе – выбрать противоположную полуплоскость.

При построении допустимого множества R могут возникнуть следующие ситуации:

- R пусто и, следовательно, задача решений не имеет;

- R является выпуклым многогранником (ограничено);

- R является многогранным неограниченным.

2. Графическое отыскание решения.

а) Выбрать два произвольных числа d1 и d2, пусть .

б) Построить линии уровня целевой функции, соответствующие выбранным константам: . Зафиксировать направление увеличения значений целевой функции от прямой с правой частью d2 к прямой с правой частью d1.

в) Передвигать прямую параллельно себе по допустимому множеству в обозначенном направлении пока она не выйдет на границу R. Получить максимальное значение d*. Возможны следующие варианты:

- прямая и допустимое множество решений R имеют одну общую точку (которая является крайней);

- получилось целое множество общих точек (т.е. прямая совпадает с одной из граней многогранника R);

- прямая не выходит на границу допустимого множества R, сколько бы ее не перемещали. Эта ситуация возникает когда целевая функция оказывается неограниченной из-за неограниченности множества R.

3. Выписать ответ.

Чтобы найти точные координаты оптимальной точки (в случае единственного решения) и численное значение d* необходимо выписать соответствующие уравнения прямых (граней многогранника R) и решить полученную систему уравнений.

В случае бесчисленного множества решений на графике выделяется целый отрезок прямой, все точки которого обеспечивают максимальное значение целевой функции. Крайние точки этого отрезка - пересечение соответствующих граней многогранника R, их координаты находятся также из соответствующих систем уравнений прямых.

При решении задач линейного программирования были подмечены следующие закономерности:

- оптимальное решение задачи, если оно существует, не может лежать внутри области допустимых решений, а только на ее границе;

- оптимальное решение всегда достигается в одной из вершин многогранника R (если оно достигается на целой стороне, то оно же достигается и в каждой из вершин, через которые проходит эта сторона);

- для того, чтобы найти оптимальное решение, достаточно перебрать все вершины допустимого множества и выбрать из них ту, где целевая функция максимальна.

Пример 1. Решить графически следующую задачу:

Согласно шагу 1 строим область допустимых решений. Получился выпуклый многоугольник R. Далее строим линии уровня целевой функции:

Затем, перемещая прямую параллельно себе в нужном направлении, пока она будет сохранять общие точки с множеством R, найдем, что в крайне возможном положении она пройдет через точку . Для нахождения координат этой точки составим и решим систему уравнений граничных прямых:

В результате получим оптимальное решение с значением целевой функции .

Пример 2.

Первый шаг - строим допустимое множество решений. Получается неограниченная многогранная область. На втором шаге, строя и перемещая линию уровня параллельно себе фиксируем нужное направление. Замечаем, что такое перемещение можно производить неограниченно. Значит целевая функция неограниченна сверху и задача неразрешима.

Графический метод можно применить и для задач с любым числом переменных, но только если ограничения представляют собой равенства (2’) и их число на 2 единицы меньше числа переменных, т.е. . Тогда систему (2’) разрешают относительно двух каких-либо переменных (например, x1 и x2):

и затем подставляют полученные равенства для в целевую функцию, которая также будет зависеть только от двух переменных.

Пример 3.

Строим множество допустимых решений. Получился выпуклый многоугольник. Строим линии уровня с правой частью d = 3 и d = 5, фиксируем направление возрастания целевой функции. Замечаем, что целевая функция параллельна одной из прямых граничного ограничения и достигает свои максимальные значения на всем отрезке, заключенном между точками и . Координаты точек находятся их соответствующих систем уравнения:

.

В этом случае оптимальное решение записывается следующим образом:

Таким образом, максимальное значение целевой функции данной задачи - , а любое решение имеет вид:

.

Пример 4.

Область допустимых решений – неограниченный многоугольник. Строим линии уровня с правой частью d = 0 и d = 1, замечем нужное направление. Очевидно, максимальное значение целевая функция достигает на всем луче, полученном пересечением оси ординат и соответствующего граничного условия 1 области R.

Чтобы выписать решение в общем виде, необходимо взять точку начала луча и еще одну точку, например . Тогда, подставляя и в уравнение луча:

получим решение задачи в общем виде со значением целевой функции :

.

Пример 5. Решить задачу:

Как видно, число ограничений на 2 меньше числа переменных, следовательно, можно использовать графический метод. Решим эту систему относительно и :

Подставим также и в целевую функцию, получим следующую задачу:

Максимальное значение будет в точке A = (6, 5). Следовательно, и оптимальное решение – точка .

Очевидно, что в случае с тремя переменными графический способ решения довольно затруднителен, а с четырьмя и более переменными вовсе невозможен.

Задания для самостоятельного выполнения

Используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования найдите решение задачи:

;

.

Значения коэффициентов A, B, C, D, E, F, G, K, L, M приведены в табл. 1.

Таблица 1

Номер варианта

A

B

C

D

E

F

G

H

K

L

M

1

2

2

2

0,5

20

1

1

15

2

0,4

10

2

3

1

4

0,3

24

0,5

5

25

2

2

18

3

4

1

20

7

140

15

10

150

5

20

100

4

5

4

25

8

200

20

11

220

10

25

250

5

6

2

30

9

270

25

12

300

15

30

450

6

7

6

35

10

350

30

13

390

20

35

700

7

8

4

10

10

100

8

12

96

6

14

84

8

9

3

11

11

121

10

13

130

7

16

112

9

10

6

12

12

144

12

14

168

8

18

144

10

11

7

13

13

169

14

16

224

9

20

180

11

12

8

14

14

196

16

18

288

10

22

220

12

13

7

15

15

225

18

20

360

12

24

288

13

14

10

16

16

256

20

22

440

14

26

364

14

15

12

17

17

289

22

24

528

16

28

448

15

16

13

18

18

324

24

26

624

18

30

540

Продолжение табл. 1

Номер варианта

A

B

C

D

E

F

G

H

K

L

M

16

17

14

19

19

361

26

28

728

20

32

640

17

18

13

20

20

400

28

30

840

22

34

748

18

19

14

21

21

441

30

32

960

24

36

864

19

20

17

22

22

484

32

34

1088

26

38

988

20

21

16

23

23

529

34

36

1224

28

40

1120

21

22

14

24

24

576

36

38

1368

30

42

1260

22

23

12

25

25

625

38

40

1520

32

44

1408

23

24

13

26

26

676

40

42

1680

34

46

1564

24

25

14

27

27

729

42

44

1848

36

48

1728

25

26

15

28

28

784

42

46

1932

38

50

1900

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]