Пример решения задачи нелинейного программирования методом «золотого сечения».

Постановка задачи.

У предприятия имеются свободные средства для инвестирования. Предприятие вложило эти средства в облигации со сроком погашения 6 месяцев. Курсовая стоимость облигации возрастает по мере приближения срока погашения этой облигации. Действия предприятия могут быть различными:

0. дожидаться срока погашения облигации, после чего получить проценты по ней и ее нарицательную стоимость;

1. продать облигацию по возросшей курсовой стоимости до окончания срока погашения и купить облигации нового выпуска по более низкой курсовой стоимости (такая операция называется реинвестированием).

Предполагая, что темп роста стоимости облигаций всех выпусков от аукциона к погашению равномерен и одинаков, найти оптимальный период для реинвестирования средств, дающий максимальную доходность их использования за шесть месяцев.

Обозначим:

К - величина расходов на операцию реинвестирования в процентах;

П - потенциал роста стоимости облигаций до погашения в процентах в день;

Т - период оптимального реинвестирования, подлежащий определению.

Целевая функция, определяемая как полный доход за шесть месяцев, приходящийся на единицу первоначально вложенных средств, имеет вид:

Запишем задачу, как задачу минимизации

и решим ее методом «золотого сечения», задав точность вычислений до 7 дней. При этом величина расходов на операцию реинвестирования в процентах: К=0,4%; потенциал роста стоимости облигаций до погашения в процентах в день: П=0,25%.

Решение.

Данная задача НЛП будет решена методом «золотого сечения».

Алгоритм решения:

ШАГ 0. Задаём значения интервала нашей функции:

a₀=0;

b₀=180;

Вычисляем координаты точек, осуществляющих золотое сечение исходного отрезка по формулам (2.1):

у₀=0+0,382(180-0)=68,76;

z₀=0+180-68,76=111,24.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть :

f(y₀)=1-(1+(0,25%/100)× 68,76-0,4%/100)^{180/ 68,76} =

= 1-(1+0,0025× 68,76-0,004) ^{180/ 68,76} = -0,5012554;

f(z₀)=1-(1+0,0025×111,24-0,004) ^{180/ 111,24} = -0,4799.

Шаг будем определять следующим образом:

∆₀= b₀ - y₀= z₀ - a₀ =111,24.

ШАГ 1 . Cравниваем значения f(y₀) и f(z₀):

-0,5012554< -0,4799 ;

f(y₀) < f(z₀).

Значит, по формулам (2.2) полагаем:

а₁=а₀= 0;

b₁= z₀=111,24;

z₁= y₀=68,76;

далее по формуле (2.3) определяем:

y₁= а₁+ b₁–z₁=0+111,24-68,76= 42,48.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть:

f(y₁)= 1-(1+0,0025×42,48 -0,004) ^{180/ 42,48} = -0,510322;

f(z₁)= 1-(1+0,0025×68,76-0,004) ^{180/ 68,76} = -0,5012554.

Определяем шаг этой итерации:

∆₁= b₁ – y₁= z₁ – a₁=111,24 –42,48=68,76.

2 итерация. Cравниваем значения f(y₁) и f(z₁):

-0,510322 <-0,5012554 ;

f(y₁) < f(z₁).

Значит, по формулам (2.2) полагаем:

а₂=а₁= 0;

b₂= z₁=68,76;

z₂= y₁=42,48;

далее по формуле (2.3) определяем:

y₂= а₂+ b₂–z₂=0+68,76 –42,48 =26,28.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть:

f(y₂)= 1-(1+0,0025×26,28–0,004) _{180/ 26,28} = -0,506935;

f(z₂)= 1-(1+0,0025×42,48-0,004) ^{180/ 42,48} = -0,510322.

Определяем шаг этой итерации:

∆₂= b₂ – y₂= z₂ – a₂=68,76–26,28= 42,48.

3 итерация. Cравниваем значения f(y₂) и f(z₂):

-0,506935> -0,510322;

f(y₂) > f(z₂).

Значит, по формулам (2.4) полагаем:

а₃= y₂=26,28;

b₃= b₂ =68,76;

y₃= z₂=42,48;

далее по формуле (2.5) определяем:

z₃= а₃+ b₃– y₃=26,28+68,76–42,48= 52,56.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть:

f(y₃)= 1-(1+0,0025×42,48-0,004) ^{180/ 42,48} = -0,510322;

f(z₃)= 1-(1+0,0025×52,56–0,004) ^{180/ 52,56} =-0,50782.

Определяем шаг этой итерации по формуле (2.6):

∆₃= b₃ – y₃= z₃ – a₃=68,76–42,48=26,28.

4 итерация. Cравниваем значения f(y₃) и f(z₃):

-0,510322<-0,50782;

f(y₃) < f(z₃).

Значит, по формулам (2.2) полагаем:

а₄=а₃=26,28;

b₄=z₃=52,56;

z₄=y₃=42,48;

далее по формуле (2.3) определяем:

y₄= а₄+ b₄–z₄=26,28+52,56–42,48 =36,36.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть:

f(y₄)= 1-(1+0,0025×36,36–0,004) ^{180/ 36,36}= -0,510624;

f(z₄)= 1-(1+0,0025×42,48-0,004) ^{180/ 42,48} = -0,510322.

Определяем шаг этой итерации по формуле (2.6):

∆₄= b₄ – y₄= z₄ – a₄=52,56–36,36=42,48–26,28=16,2.

5 итерация. Cравниваем значения f(y₄) и f(z₄):

-0,510624< -0,510322;

f(y₄) < f(z₄).

Значит, по формулам (2.2) полагаем:

а₅=а₄=26,28;

b₅=z₄=42,48;

z₅= y₄=36,36;

далее по формуле (2.3) определяем:

y₅= а₅+ b₅–z₅=26,28+42,48–36,36=32,4.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть:

f(y₅)= 1-(1+0,0025×32,4–0,004) ^{180/ 32,4} = -0,509997;

f(z₅)= 1-(1+0,0025×36,36-0,004) ^{180/ 36,36}= -0,510624.

Определяем шаг этой итерации по формуле (2.6):

∆₅= b₅ – y₅= z₅ – a₅=42,48–32,4=36,36–26,28=10,08.

6 итерация. Cравниваем значения f(y₅) и f(z₅):

-0,509997> -0,510624;

f(y₅) > f(z₅).

Значит, по формулам (2.4) полагаем:

а₆= y₅=32,4;

b₆=b₅ =42,48;

y₆=z₅=36,36;

далее по формуле (2.5) определяем:

z₆= а₆+ b₆– y₆=32,4+42,48–36,36=38,52.

Вычисляем значения целевой функции в этих точках, то есть:

f(y₆)= 1-(1+0,0025×36,36-0,004) ^{180/ 36,36}= -0,510624;

f(z₆)= 1-(1+0,0025×38,52–0,004) ^{180/ 38,52}= -0,510664.

Определяем шаг этой итерации по формуле (2.6):

∆₆= b₆ – y₆= z₆ – a₆=42,48–36,36=38,52–32,4=6,12.

Данные расчётов по всем итерациям сведены в таблицу 1.

Таблица 1.

	П=0,25 % К=0,4 %
	ak	bk	yk	zk	f(yk)	f(zk)	шаг
0 итерация	0	180	68,76	111,24	-0,501255	-0,4799	111,24
1 итерация	0	111,24	42,48	68,76	-0,510322	-0,501255	68,76
2 итерация	0	68,76	26,28	42,48	-0,506935	-0,510322	42,48
3 итерация	26,28	68,76	42,48	52,56	-0,510322	-0,50782	26,28
4 итерация	26,28	52,56	36,36	42,48	-0,510624	-0,510322	16,2
5 итерация	26,28	42,48	32,4	36,36	-0,509997	-0,510624	10,08
6 итерация	32,4	42,48	36,36	38,52	-0,510624	-0,510664	6,12

Так как заданная точность вычислений (Е=7) превышает шаг, полученный в 6 итерации (∆₆ =6,12), то вычисления прекращаются.

Таким образом, весь алгоритм сходится за 7 итераций, считая и нулевую. Оптимальное значение дохода получается при реинвестировании в течение с 36 до 38 дней.