Задача 1.1

О ценить плотность ядерного вещества ρ, концентрацию нуклонов n и плотность электрического заряда ρ_э в ядре.

Решение

По определению, плотность вещества массой М, которое занимает объем V, равна

ρ = М/V = m·N/V,

(1.1.1)

где m – масса частиц, из которых состоит тело (предполагаем, что частицы тождественны), а N – количество частиц в объеме V. Так как

n = N/V

(1.1.2)

есть концентрация частиц по определению, то из (1.1) и (1.2)

ρ = m· n.

(1.1.3)

Для оценки примем, что ядро, состоящее из А нуклонов, имеет форму шара, радиус которого R(A) дается формулой (1.1). Тогда

,

Будем считать, что масса нуклона равна одной атомной единице массы, т.е. m = 1,66·10^-24 г, и окончательно получим

ρ = 1,66·10^-24·8,7·10³⁷ = 1,4·10¹⁴ г/см^-3= 1,4·10⁸ тонн/см^-3!

Плотность электрического заряда в ядре равна

ρэ = e·np,

(1.1.4)

где n_p- концентрация протонов в ядре. Если считать, что для устойчивых ядер число протонов в ядре равно числу нейтронов, то

ρэ = e·n/2= 1,6·10-19·8,7·1037= 7·1018 Кл/см-3 .

Задача 1.2

В современной системе масс атомов за единицу массы а.е.м. принята 1/12 массы атома ¹²С (вместо старой единицы МЕ, равной 1/16

массы атома ¹⁶О). Найти связь между а.е.м. и МЕ. Как изменились численные значения масс атомов при переходе от старой единицы массы к новой.

Решение

Задачу удобно решать, используя избытки масс нуклидов:

1.2.1

так как по определению избыток масс атома ¹²С равен нулю. Подставив в (1.2.1) численное значение Δ(¹⁶О) их таблицы табл. 1 Приложений, получим

Таким образом, 1 а.е.м. численно стала больше 1 МЕ на 0,032 %, а численные значения масс атомов уменьшились на эту же величину.

Задача 1.3

Н айти относительное содержание С_ат и С_м (атомное и массовое) нуклида¹³С в природном углероде, который состоит из нуклидов ¹²С и ¹³С. Атомные массы природного углерода и обоих нуклидов считать известными.

Решение

Из периодической системы химических элементов находим, что A_r(C) =12, 01115 а.е.м. Из табл. 1 Приложений находим, что избыток массы Δ(¹³С) = 0,003354 а.е.м. и A_r(¹³C) =13, 003354 а.е.м. По определению относительное атомное содержание изотопа С_ат есть доля атомов этого изотопа в полном числе атомов моля элемента природного изотопного состава. Тогда по определению

.

(1.3.1)

Учитывая, что

,

перепишем (1.3.1) в виде

,

и решим относительно С_ат(¹³C):

.

Учитывая, что массовое содержание изотопа С_м есть доля массы этого изотопа в моле элемента природного изотопного состава, сразу получаем

.

Задача 1.4

Н айти с помощью формулы (1.3) энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов, а радиус – в полтора раза меньший, чем радиус ядра ²⁷Al.

Решение

Чтобы воспользоваться формулой (1.3) необходимо определить A и Z искомого ядра. Предположим, что ядро имеет сферическую форму, а зависимость радиуса ядра от массового числа выражается формулой (1.1). Тогда

.

(1.4.1)

Решая уравнение (1.4.1), находим, что А = 8. Таким образом, N = Z = 4 и искомое ядро принадлежит нуклиду ⁸Be. Энергия связи этого ядра (необходимые избытки масс атомов взяты из табл. 1 Приложений):

ΔW(8Be) = [4·0,007825 -4·0,008665 – 0,005308] ·931,5 = 56,5 МэВ