7. Интегрирование тригонометрических функций

I. Интегралы вида

Используем формулы преобразования произведения двух функций в сумму или разность:

Пример 1.

II. Интегралы вида

При условии, что хотя бы одно из чисел m или n нечетное целое число

От нечетной степени отделяется один сомножитель и подводится под знак дифференциала. Для преобразования оставшейся четной степени используется формула: .

Если оба числа m и n нечетные числа, то сомножитель отделяется от меньшего показателя.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

III. Интегралы вида при условии, что оба числа m и n – четные целые числа

Используем формулы:

Пример 5.

IV. Интегралы вида , где - рациональная функция от .

Используем универсальную подстановку:

Пример 6.

Пример 7.

Замечание 1. Универсальная подстановка может иногда привести к сложным выкладкам. В этом случае надо использовать особенности данного интеграла.

Пример 8.

Замечание 2. Если для рациональной функции выполнено равенство , то полезно применить подстановку

Пример 9.

удобно вынести за скобку в знаменателе

V. Интегралы вида .

Применяется подстановка .

Интегралы вида .

Применяется подстановка .

Получаем после замены неправильную дробно-рациональную функцию.

Пример 10.

В ыделим целую часть

8. Тригонометрические подстановки

Интегралы вида лучше всего решать с помощью следующих тригонометрических подставок:

I.

II.

III.

Также необходимо знать тригонометрические формулы:

1)

2) 4)

3) 5)

Алгоритм нахождения интеграла.

1. Определить тип интеграла и сделать соответствующую тригонометрическую подстановку.

2. Упростить подынтегральное выражение.

3. Найти полученный интеграл, применяя ранее изученные методы.

4. Сделать обратную подстановку и записать ответ, который тоже желательно упростить, используя тригонометрические формулы (стр. 43).

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

9. Интегрирование иррациональных функций

I. Интегралы вида:

1)

2)

где a,b,c,d – действительные числа, р₁,…, р_k, q₁,…q_k – целые числа,

n₁,…, n_k, m₁,…m_k – натуральные числа.

Для их решения следует применять подстановки:

1) где s – наименьшее общее кратное чисел n₁,…, n_k

2) где s – наименьшее общее кратное чисел m₁,..., m_k

Для решения примеров также необходимо вспомнить:

1) формулы сокращенного умножения;

2) свойства степеней.

П ример 1.

Пример 2.

II. Интегралы вида

где а, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа.

Выражение называется дифференциальным биномом, его интегрирование возможно только в трех случаях.

1) р – целое число,

тогда используем постановку , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.

2) - целое число,

тогда где k - знаменатель дроби p.

3) - целое число,

тогда (или ), где k - знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы от дифференциального бинома являются «неберущимися».

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.