5.3.1. Формы записи логических уравнений
Аналитически логическая функция или уравнение могут быть записаны в общем случае различными сочетаниями операций сложения и умножения логических переменных. Однако наиболее удобными оказались две формы:
когда функция выражается в виде суммы произведений переменных;
либо в виде произведений их сумм.
Первая форма получила название дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ):
.
Вторая форма – конъюнктивной нормальной формы (КНФ):
К этим двум формам посредством правил алгебры логики может быть приведена логическая функция, заданная любым аналитическим выражением.
Вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом, называется соответственно совершенной ДНФ и совершенной КНФ.
Совершенная ДНФ (СДНФ) – такая, в которой каждое слагаемое представляет собой произведение всех переменных или их инверсий. В СКНФ каждый сомножитель включает сумму всех переменных и их инверсий.
Однако наиболее наглядно и полно логическая функция представляется так называемой таблицей соответствия или таблицей истинности, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. Т.е. эта таблица определяет алгоритм работы создаваемой цифровой схемы. Кстати от табличного представления функции легко переходят затем к ее аналитической записи либо в СДНФ, либо в СКНФ.
5.3.2. Синтез комбинационных логических устройств
Комбинационным называется такое логическое устройство, выходной сигнал (функция) которого однозначно зависит (определяется) от значений входных логических функций в тот же момент времени.
Допустим функция F задана таблицей 5.3.2. (физический смысл переменных может быть существенно различным, к примеру А=1 непосредственное включение двигателя (аппарата), В=1 – включение с пульта управления, С=1 – наличие в сети соответствующего напряжения, F – факт включения двигателя).
Таблица 5.3.2.
-
A
B
C
F
1
0
0
0
0
1
2
0
0
1
0
1
3
0
1
0
0
1
4
0
1
1
1
0
5
1
0
0
0
1
6
1
0
1
1
0
7
1
1
0
0
1
8
1
1
1
1
0
После, составления таблицы, что должно было идти первым этапом, идет второй этап – этап составления логического уравнения. Для выполнения этого этапа выделяем строки в таблице 5.3.2., в которых F=1, т.е. истинна, – это 4, 6 и 8 строки. Сформулируем словесно условия равенства F=1: "Функция F=1, когда истинны "НЕ" А "И" В "И" С (4 строка), "ИЛИ": А "И" "НЕ" В "И" С (6 строка), "ИЛИ": А "И" В "И" С (8 строка).
Заменим теперь слова "НЕ", "ИЛИ", "И" на соответствующие знаки операций, после чего получим:
F=
ВС+А
С+АВС
(СДНФ)
(5.1)
Сочетания переменных, при которых функция F=1 называют "конституентами" единицы или "минтермами". Представление функции F в виде суммы минтермов определяет СДНФ, которая нами в примере и была использована.
Функция, определяемая таблицей истинности, может быть определена не только ее единичным, но и нулевым значением. К примеру функция ложна F=0, или =1, если истинно каждое из произведений:
Если воспользоваться законом инверсии, то можно здесь перейти от СДНФ к СКНФ записи функции, а именно:
(5.2)
в соответствии с правилом Шеннона изложения теорем де Моргана. Каждый сомножитель в выражении для F состоит из суммы переменных. Такие суммы называют "конституентами нуля" или "макстермами". Здесь каждый сомножитель состоит из суммы переменных, для которых функция F обращается в нуль.
Третий этап – минимизация (т.е. упрощение) формы записи. Можно создать устройство, которое непосредственно реализует функцию F в СДНФ. Для этого надо иметь два элемента "НЕ", три трехвходовых элемента "И" и один трехвходовый элемент "ИЛИ" – т.е. всего 6 элементов. Однако запись функции F можно упростить, если воспользоваться тождеством 1 и добавить в выражение 5.1 член АВС. Тогда получим:
,
(5.3)
далее применяем тождество 2 и получаем:
F=ВС+АС=С(А+В). (5.4)
Рис. 5.3.4. Логическая схема на двух элементах "ИЛИ" и "И" и её модификации
Четвертый этап – составление логической схемы. Здесь уже всего две операции: "ИЛИ" и "И", поэтому и устройство можно выполнить на двух элементах (см. рис. 5.3.4.) . Если стремиться ограничить номенклатуру логических элементов, то можно получить выполнение той же функции с помощью других элементов, как показано на этом же рисунке справа. Дело в том, что все логические функции, а следовательно и любое устройство могут быть реализованы только на элементах "И-НЕ" или "ИЛИ-НЕ". Рассмотрим этот вопрос детальнее.