5.3. Элементы алгебры логики и синтеза комбинационных схем. Формы записи логических уравнений
Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых (логических) систем служит алгебра логики (булева алгебра), в которой в отличие от обычной алгебры аргументы и функции принимают только два возможных значения: "0" и "1". Это алгебра состояний, а не чисел. Она позволяет:
математически записывать логические сообщения и связи между ними;
реализовать логические уравнения в виде логических схем, т.е. переходить от аналитического описания процесса к его схемной реализации в виде логического автомата;
оптимизировать реализацию логических автоматов (минимизировать число элементов, обеспечить их однородность и т.д.).
Логические операции могут быть представлены графически с помощью диаграмм Венна (см. рис. 5.3.1.).
a) б) в)
Рис. 5.3.1. Диаграммы
Венна: а) А+В
(ИЛИ); б)
(НЕ);
в) АВ (И)
Т.е. алгебра логики использует ранее рассмотренные логические операции, причем порядок выполнения операций существует вполне определенный. Сначала выполняется операция "НЕ", затем "И" и наконец "ИЛИ". Для изменения порядка операций применяют скобки. Вычитания и деления в алгебре логики нет. Как и в обычной алгебре действуют следующие законы:
1. Переместительный (закон коммутативности) для сложения и умножения.
А+В+С=А+С+В=В+А+С;
А·В·С=А·С·В=В·А·С;
2. Сочетательный (ассоциативности)
А+В+С=А+(В+С)=(А+В)+С;
А·В·С=А·(В·С)=(А·В)·С
Здесь скобки используют для изменения порядка действий, как в обычной алгебре.
3. Распределительный (закон дистрибутивности)
А·(В+С)=А·В+А·С.
Кроме того, для осуществления операций над логическими сообщениями пользуются рядом тождеств и аксиом.
1. А+А=А |
|
|
5. А·А=А |
|
|
9.
|
2. А+Ā=1 |
|
|
6. А·Ā=0 |
|
|
10. А+А·В+А·С=А |
3. А+0=А |
|
|
7. А·0=0 |
|
|
11. А+Ā·В=А+В |
4. А+1=1 |
|
|
8. А·1=А |
|
|
|
=АСледующие два тождества называются либо формулами, либо теоремами де Моргана. Эти же тождества называются еще законами инверсий, а именно:
12.
т.е. сумма инверсий равна инверсии произведения;
13.
т.е. произведение
инверсий равно инверсии суммы (иначе
можно
–
инверсия суммы равна произведению
инверсий;
–
инверсия произведения равна сумме
инверсий)
В общем случае теоремы де Моргана могут быть представлены в виде, предложенном Шенноном, а именно:
Или: инверсия любой функции получается заменой каждой переменной её инверсией и одновременно взаимной заменой символов сложения и умножения.
Например:
,
а инверсия будет
Доказывается справедливость закона инверсии с помощью таблицы истинности. Так для двух переменных получим результат в виде табл.5.3.1
Таблица 5.3.1.
A |
B |
|
____ A+B |
|
___ A·B |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рис. 5.3.2. Диаграмм Венна для суммы инверсий |
Рис. 5.3.3. Диаграмм Венна для произведения инверсий |
Все перечисленные тождества могут быть доказаны и с помощью диаграмм Венна. К примеру, на рис. 5.3.1., а) заштрихована площадь, соответствующая тождеству 11. Тождеству 12, его левой и правой частям, соответствует заштрихованная площадь на рис. 5.3.2., а на рис. 5.3.3., заштрихованная площадь соответствует формуле де Моргана- 13.
Использование законов инверсии может приводить к существенному упрощению функции, а следовательно и средств ее реализации.