Случайные события. Вероятность события.

  Понятие вероятности события определяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждое отдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплекс условий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно быть возможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

Пример 1. При бросании игральной кости "наудачу" существенным условием является только то, что кость бросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давление и температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.   Пример 2. Стрелок многократно стреляет в определенную мишень с данного расстояния из положения "стоя"; каждый отдельный выстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях. Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение ("стоя", "лежа", "с колена"), то предыдущие условия существенно изменяются и следует говорить о массовой операции стрельбы с данного расстояния. Возможные результаты единичной операции, или испытания S, называются случайными событиями. Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".  Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков, не большего трех, и т. п.   При стрельбе случайным событием является попадание в цель (стрелок может как попасть в цель, так и промахнуться), противоположным ему случайным событием является промах. Из этого примера хорошо видно, что понятие случайного события в теории вероятностей не следует понимать в житейском смысле: "это чистая случайность", так как для хорошего стрелка попадание в цель будет скорее правилом, а не случайностью, понимаемой в обыденном смысле. Пусть при некотором числе n испытаний событие A наступило m раз, т. е. m результатов единичной операции оказались "удачными", в том смысле, что интересующее нас событие A осуществилось, и n-m результатов оказались "неудачными" - событие A не произошло.   Определение 1. Отношение числа «удачных» исходов к числу всех испытаний, т. е.  , называется частостью события A.   Для однородных массовых операций частость ведет себя устойчиво, в том смысле, что если событие A появилось m₁ раз при n₁ испытаниях (одна серия испытаний), m₂ раз при n₂ испытаниях (другая серия испытаний), m₃ раз при n₃ и т. д., то частости

незначительно отклоняются от некоторого числа p и это отклонение, вообще говоря, тем меньше, чем больше проведено испытаний. Это число p называется вероятностьюсобытия A для данной массовой операции и обозначается через P(A): p=P(A)

  Таким образом, можно дать следующее определение вероятности, называемое статистическим.   Определение 2. Вероятностью события A, или вероятностью «удачного» исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т. е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний).   Само собой разумеется, что если вероятность события равна  , то при n испытаниях событие A может наступить и более чем m раз, и менее чем m раз; оно лишь в среднемнаступает m раз, и в большинстве серий по n испытаний число появлений события Aбудет близко к m, в особенности если n — большое число.   Таким образом, вероятность P(A) есть некоторое постоянное число, заключенное между нулем и единицей:

0   P(A)   1

  Иногда ее выражают в процентах: Р(А) • 100% есть средний процент числа появлений события A. Конечно, следует помнить, что речь идет о некоторой массовой операции, т. е. условия S производства испытаний — определенные; если их существенно изменить, то может измениться вероятность события A: то будет вероятность события A в другой массовой операции, с другими условиями испытаний. В дальнейшем будем считать, не оговаривая это каждый раз, что речь идет об определенной массовой операции; если же условия, при которых осуществляются испытания, меняются, то это будет специально отмечаться.

Классической и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами  . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее  количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение. Вероятность события  равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

 (1.1)

где   — вероятность события  ,   — число благоприятствующих событию  исходов,   — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события  в опытах.

Относительная частота появления события   вычисляется по формуле

(1.2)

где   - число появления события  в серии из   опытов (испытаний).

Статистическое определение. Вероятностью события   называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота   при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события   принимается относительная частота   при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события   видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Пример. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из партии в 5 наудачу взятых машинок 3 окажутся бездефектными.

Решение. Для решения данной задачи введем обозначения. Пусть   — общее число машинок,   — число бездефектных машинок,   — число отобранных в партию машинок,   — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по   машинок, т.е. общее число возможных исходов будет равно числу сочетаний из   элементов по  , т.е.  . Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из   элементов по  , т.е.  .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из   элементов по  , т.е.  .

Это значит, что общее число благоприятствующих исходов определяется произведением  . Откуда получаем

Подставим в эту формулу численные значения данного примера

Алгебра событий

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.

Суммой событий   называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий

В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.

Произведением событий  называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий

Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий:   -появление одного товара, —   появление другого товара.

События   образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события:   — отсутствие судов у причалов,   — присутствие одного судна у одного из причалов,   — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через  , то противоположное событие обычно обозначают через  .

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

 Основные теоремы

Суммой A + B событий A и B называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример 1. Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;А - пошли на дискотеку; B - пошли в библиотеку, тогда (А + В) - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P (A + B) = P(A) + P(B).

(2.1)

Пример 2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

P (A) = 10/30 = 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P (В) = 5/30 = 1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

По формуле 2.1 искомая вероятность

P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2. 

Теорема. Сумма вероятностей событий A₁, A₂, …, A_n , образующих полную группу, равна единице: 

P(А1) + P(А2) + ... + P(Аn) = 1.

(2.2)

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать  .

Пример 3. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении 6, то противоположное событие – это невыпадение6, т.е. выпадение 1, 2, 3, 4 или 5.

Пример 4: если А - число четное, то   - число нечетное; если А - зима, то   - не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А - сдал экзамен, то   - не сдал экзамен.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: 

P(А) + P( ) = 1.

(2.3)

Теоремы умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример 5: пусть А - из урны вытянули белый шар, B - из урны вытянули белый шар, тогда АВ - из урны вытянули двабелых шара; если А - идет дождь, B - идет снег, то АB - дождь со снегом; А - число четное, B - число кратное 3, тогда АB - число кратное 6.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми. Например, из одной колоды тянут карты, не возвращая их.

Условной вероятностью P_A(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения для зависимых событий

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: 

P (AB) = P (A)*PA(B).

(2.4)

Пример 6. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:  А1- первый взятый учебник в переплете;  A2- второй взятый учебник в переплете.

Событие A = A₁ * A₂, состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит от наступления события А₁. Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой (2.4).

Вероятность наступления события А₁ в соответствии с классическим определением вероятности:

P (А₁) = m / n = 3/6 = 0,5.

P _А1 (А₂) определяется как условная вероятность наступления события А₂ при условии, что событие А₁ уже наступило:

P _А1 (А₂) = 2/5 = 0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события А:

P (А) = 0,5 * 0,4 = 0,2.

Теорема умножения для независимых событий

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: 

P(AB) = P(A)*P(B).

(2.5)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 6. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В - появление четного числа очков. Событие А иВ - совместны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

(2.6)

Пример 7. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.

Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле 2.6.

Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):

P (AB) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,8 = 0,48.

Тогда

P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A: 

(2.7)

Вероятность гипотез. Формулы Байеса

Теорема. Если существуют n попарно несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу, и известны условные вероятности события А, то можно найти вероятности того, что событие А произошло при условии появления некоторого события B_i по формуле: 

.

(2.8)

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.