22. Теоремы о непрерывности арифметических операций.

Теорема. Если две функции f (x) и g (x) определены в одном и том же промежутке Р и обе непрерывны в точке х₀, то в этой же точке будут непрерывны и функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x),  , последняя при условии, что g(x) не равна 0.

Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы (разности), произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы.

Остановимся для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций f (x) и g (x) в точке х₀ равносильно наличию равенств

.

Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:

,

а это равенство и означает, что функция  непрерывна в точке х₀.

Следствия.

1. Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

3. Если f (x) непрерывна, то непрерывна и |f (x)|.

23. Свойства бесконечно больших функций. Примеры.

функция f(x), определенная в окрестности точки х0, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x0, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х0 и таких, что |х - х0 | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M.

Пример. Функция  есть бесконечно большая функция при  .

Если  стремится к бесконечности при  и принимает лишь положительные значения, то пишут  ; если лишь отрицательные значения, то  .

Функция двух переменных  в окрестности точки  (начало координат) является бесконечно большой функцией, так как  .

24. Теорема об односторонних пределах.

Под односторонним пределом числовой функции подразумевают «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

Число  называется правым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число  называется левым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

Теорема. Функция  имеет предел в точке  тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке 

Доказательство Необходимость. Пусть в точке  существует конечный предел, то есть  из чего следует, что этот же предел существует на промежутках . Следовательно односторонние пределы существуют и равны между собой. Достаточность. Пусть в точке  существуют односторонние пределы, равные между собой  и  из чего следует, что теорема доказана.

Пример.

Дана функция  Выяснить существует ли предел в точке 

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки . Как видно  и  Пределы справа и слева не равны. Согласно вышеприведенной теореме, можно сделать вывод, что предел функции в точке  не существует.