6.2. Определение коэффициентов демпфирования, частот и форм собственных колебаний рамы

Спектральное разложение S в базисе из собственных векторов (11):

S = PP^–1 = ,

г де

 = = =

=

 = ,  = .

P = , P₁ = , P₂ =

6.3. Анализ результатов собственных колебаний рамы

Ф ормы собственных колебаний

Параметры собственных колебаний: частоты и коэффициенты демпфирования

7. Функции MatLab

i nv(A) – операция обращения матрицы A (эквивалентно действию A^–1);

eig (A) – выполняет операцию разложения матрицы A в базисе из собственных векторов: A = PP^–1, где P – матрица собственных векторов,  = diag (₁, … , _n) – матрица собственных значений матрицы A.

По этой команде выводятся только собственные значения _k в виде вектора: [₁, ₂, … , _n]^T; по команде [P ] = eig (A) на печать выводится матрица P и диагональная матрица  собственных значений;

sqrtm (A) – извлечение корня квадратного из A. Выполняется с помощью разложения в базисе из собственных векторов матрицы A = PP^–1, как функция от матрицы: f(A) = P f()P^–1 (P и  – матрицы собственных векторов и значений матрицы A);

expm (A) – матричная экспонента (операция эквивалентна действию e^A); выполняется с учетом спектрального разложения e^A = Pe^P^–1, где A = PP^–1. В частности, для функции Ф(t) = e^St  expm(S*t);

eye (n) – операция формирования единичной матрицы E n-го порядка;

A² – возведение матрицы в квадрат: A^2 (можно, и даже лучше, квадрат записать через произведение: A² = A*A); в общем случае: A^m  A^m;

A’ – операция транспонирования матрицы A:

если A – действительная: A  M_n(R), то эта операция эквивалентна A^Т;

если A – комплексная: A  M_n(С), то эта операция эквивалентна сопряжению ;

A.’ – операция транспонирования комплексной матрицы A  M_n(С): эквивалентна действию A^Т (добавление точки снимает операцию сопряжения).

Практика 3

I I. Расчет рамы на вынужденные колебания

Уравнение движения вынужденных колебаний рамы

M (t) + C (t) + KY(t) = F(t) (14)

1 . Расчет рамы на действие вибрационной нагрузки (рис. 5)

F(t) = sin tP₀,

P₀ = ,  =

Для расчета принять:

P₀₁ = 20 кН; P₀₂ = 0;

₁ = ₂ = 0,8 ₁ с^-1;

Определить из ур.(40), (42) все параметры динамич. реакции рамы при t = 10 c: перемещ., скорости, ускорения, восстанавл., диссипативные и инерционные силы.

Решение динамической задачи

Запись разрешающих уравнений (40), (42) (векторы перемещ. и скоростей):

Y(t) = 2Re [X(t)]P₀, (t) = 2Re [SX(t)]P₀,

X(t) = {S[Ф(t–t₀)sin t₀ – sin t ] +

[Ф(t–t₀)cos t₀ – cos t ]}[U(S² + ²)]^–1.

Для построения вектора ускорений дифференцируем выражение вектора скорости. Окончательно система уравнений при t₀ = 0,  = 0 имеет вид:

Y

(a)

(t) = 2Re [X(t)]P₀, (t) = 2Re [SX(t)]P₀,

(t) = 2Re [S²X(t)]P₀ + M^–1F(t),

X (t) = { Ф(t) – Ssin t – cos t }[U(S² + ²)]^–1.

Система разрешающих уравнений (а) содержит векторы перемещений, скоростей и ускорений. Данные величины представляют кинематические параметры реакции системы.

Построение силовых параметров реакции системы.

В ектор восстанавливающих сил: R(t) = KY(t)

В

(б)

ектор диссипативных сил: F(t) = C (t)

Вектор инерционных сил: I(t) = –M (t)

Построение матрицы X(t) в (а).

Так как матрица  скалярная, то ее можно представить в виде скаляра (числа)

 = 0,8 ₁ = 0,842.4567 = 33.96536 c^1 и тогда матрица X(t) запишется так:

X(t) = { Ф(t) – Ssin t – Ecos t }[U(S² + E²)]^–1.

Вычисляем в этом выражении вспомогательные функции при t = 10 c :

sin t = 0.3538; cos t = 0.9353; cos t = 31.769; отсюда получим:

X

(в)

(10) = {33.96536*Ф(10) – 0.3538*S – 31.769*E}[U(S² + 1153.646*E)]^–1

Определяем матрицы, стоящие в фигурных скобках в (в):

0.3538*S = 0.3538* =

= ,

Ф(10) = e^10S = ,

33.96536*Ф(10) = ,

31.769*E = 31.769* = .

Тогда фигурная скобка в выражении (в) матрицы X(10) равна:

{ 33.96536*Ф(10) – 0.3538*S – 31.769*E} =

=

(г)

Вычисление второй матрицы-сомножителя в (в): [U(S² + 1153.646*E)]^–1.

U = i кНс / м = i кНс / см.

S² =

[U*(S² + 1153.646*E)] =

= i =

= .

[U(S² + 1153.646*E)]^–1 =

=

(д)

10^-5

Окончательно матрица X(10) в (в) равна произведению (г)*(д):

X(10) = *

* 10^-5 =

= 10^-2,

Из уравнений (а) получаем соотношения:

Y

(е)

(10) = 2Re [X(10)]P₀, (10) = 2Re [SX(10)]P₀,

(10) = 2Re [S²X(10)]P₀ + M^–1F(10),

в которых необходимо вычислить следующие величины:

Re [X(10)] = Re 10^-2 =

=

(ж)

10^-2;

SX(10) = ,

R

(з)

e [SX(10)] = ;

S²X(10) = ,

R

(и)

e [S²X(10)] =

M^–1 =

F(10) = sin (10)P₀ = 0.3538 = кН

M

(к)

^–1F(10) = = см/c²

Кинематические параметры реакции рамы при t = 10 c

В ектор перемещений с учетом (ж): Y(10) = 2Re [X(10)]P₀ =

= 2 10^-2 = 10^-2 = см

Вектор скоростей с учетом (з): (10) = 2Re [SX(10)]P₀ =

= 2 = см/c

Вектор ускорений с учетом (и) и (к):

(10) = 2Re [S²X(t)]P₀ + M^–1F(10) =

= 2 + =

= + = см/c²

Силовые параметры реакции рамы при t = 10 c

Вектор восстанавливающих сил: R(10) = KY(10) =

= 10^-2 = кН

Вектор диссипативных сил: F(10) = C (10) =

= 10^-2 = кН

Вектор инерционных сил: I(10) = –M (10) =

= – 10^-2 = кН