5 . Пример нахождения u и V для заданных матриц m, c, k

1 -я итерация (k = 1). Пусть начальное значение матрицы V⁽¹⁾ = .

Матрица-дискриминант D⁽¹⁾ = 4K – (C+V)M^–1(C–V) =

= 10⁵.

Матрицы в формуле (7) U^(k) = M :

– M^–1D⁽¹⁾ = – , U⁽¹⁾ = i

Матрицы (6): A⁽¹⁾ = M^–1U⁽¹⁾ = i ,

B⁽¹⁾ = U⁽¹⁾M^–1C – CM^–1U⁽¹⁾ = i

Элемент матрицы B⁽¹⁾: b₁ = –i 10.551085;

Сумма диагональных элементов матрицы A⁽¹⁾: a₁₁ + a₂₂ = i 284.506;

из (9): x₁ = = –0.03708559261

Отсюда V⁽²⁾ = .

2-я итерация (k = 2).

Дискриминант: D⁽²⁾ = 4K – (C + V⁽²⁾)M^–1(C – V⁽²⁾) =

= 10⁵.

Матрицы: U⁽²⁾ = i , A⁽²⁾ = i ,

B⁽²⁾ = i ,

x₁ = –10.5503527 / 284.506 = –0.03708301885195.

V⁽³⁾ = .

3-я итерация (k = 3): U⁽³⁾ = i ,

x₁ = –0.03708301903056

4-я итерация (k = 4): x₁ = –0.03708301903055,

Итерации быстро сходятся. Значения элементов матрицы V сравниваются между собой в соседних итерациях. Уже на 3-м шаге итераций уточнение элементов матрицы V происходит на 8-м знаке после запятой, на 4-м шаге уточняется 14-й знак. Поэтому процесс итераций заканчиваем.

Окончательные значения матриц V и U:

V = , U = i .

П одставляя найденные значения матриц V и U в формулу для корневой пары (3), вычисляем матричные корни

S_1,2 = .

Матрицы S_1,2 являются комплексно-сопряженными: S₁ = S, S₂ = .

Проверка правильности решения

После подстановки корней S_1,2 в МКУ (2) невязка уравнения составляет:

_1,2 = 10^–10

Максимальная погрешность не превышает eps = 10^–10.

6. Определение параметров собственных колебаний рамы

6.1. Общие сведения о характеристиках собственных колебаний

К параметрам собственных колебаний рамы относятся:

_k – коэффициенты демпфирования, с^-1;

_k – частоты собственных колебаний, с^-1;

P_k – векторы собственных форм демпфированных колебаний.

Для определения данных параметров необходимо выполнить спектральное разложение матрицы S внутренних динамических характеристик системы в базисе из собственных векторов:

S = PP^–1, (11)

где  – диагональная матрица спектральных (внутренних) характеристик динамической системы; P – матрица собственных форм (векторов) демпфированных колебаний.

Матрица  имеет вид

 = diag (₁, ... , _n) = =

= = – + i, (12)

где  = –Re = diag(₁, ... , _n),  = Im = diag(₁, ... , _n) – матрицы коэффициентов демпфирования и собственных частот демпфированных колебаний, определяемые соответственно действительной и мнимой частью :

 = ,  = . (13)

Матрица собственных форм (векторов) демпфированных колебаний:

P = [P₁, P₂, … , P_n] =

Следовательно, решения МКУ (2) содержат в себе всю информацию о собственных колебаниях ДДС. Собственные числа и собственные векторы корня S имеют реальный физический смысл. Любое собственное число _k матрицы S есть совокупность двух параметров: коэффициента демпфирования _k и частоты собственных колебаний _k, заключенных соответственно в действительной и мнимой частях числа _k = –_k + i_k. Принадлежащий этому числу собственный вектор P_k является k-й собственной формой демпфированных колебаний дискретной системы.