2.1.2. Модельное описание системы в виде структурной модели.

Структурная модель системы (в отличие от модельного представления системы в виде множества элементов) включает в себя не только элементы, но и связи между ними.

Связь между двумя элементами системы, понимаемая как функциональная зависимость свойств элемента a_j от свойств элемента a_i , обозначим q_ij. Обозначим Q= {q_ij}, i,j=1,…,n - множество связей между элементами системы.

Структурной моделью (структурой) системы называется совокупность двух множеств: множества элементов системы и множества связей между ними:

D= (A, Q)

Структура является статической моделью системы и характеризует только строение системы, не учитывая множества свойств (состояний) ее элементов, поскольку эти элементы входят в структуры в качестве элементов множества.

Типовыми структурами систем являются:

1) линейная структура (рис.2.1), в которой элементы упорядочены так, что:

- имеется первый элемент, свойства которого не зависят от свойств других элементов;

- свойства каждого элемента кроме первого зависят только от свойств предыдущего элемента;

2) циклическая структура (рис.2.2), в которой элементы упорядочены так, что:

- в качестве первого элемента может быть взят произвольный элемент структуры;

- свойства каждого элемента кроме первого зависят только от свойств предыдущего элемента;

- свойства первогоо элемента только от свойств последнего элемента;

3) иерархическая структура (рис.2.3), в которой элементы разбиты на группы (слои) так, что:

- свойства не зависят не зависят от свойств других элементов;

- свойства каждого элемента любого слоя кроме первого зависят только от свойств одного элемента предыдущего слоя.

Структуры сложных систем представляют собой, как правило, комбинации этих типовых схем. Например, в теории систем М. Месаровича предложены особые классы иерархических структур, отличающиеся различными принципами взаимоотношений элементов в пределах уровня и различным правом вмешательства вышестоящего уровня в организацию взаимоотношений между элементами нижележащего, для названия которых он предложил следующие термины: «страты», «слои», «эшелоны». Структуры такого типа называются многоуровневыми иерархическими структурами.

Математической моделью структуры является граф, поэтому при исследовании структурных моделей систем используются основные понятия теории графов.

Граф называется конечным, если конечными являются множества его вершин и дуг. Граф называется ориентированным, если дуга e_ij имеет направление (например, из v_i в v_j), если ориентация не указана, то дуга называется ребром. Ориентированный граф называют орграфом. Дуга (ребро) называется петлёй, если оно начинается и заканчивается в одной вершине.

Матрица инциденций орграфа R=[r_ij] – прямоугольная матрица размерности mn, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы – дугам графа. При этом r_ij = –1, если дуга u_j выходит их вершины v_i; r_ij = 1, если дуга u_j заходит в вершину v_i и r_ij=0 в остальных случаях. Если граф является неориентированным, то элементами матрицы будут 0 и 1. Строки матрицы инциденций называются векторами инциденций.

Матрица смежности вершин орграфа A=[a_ij]: a_ij=1, если есть дуга, ведущее из v_i в v_j, и a_ij=0 в противном случае. Очевидно, если граф неориентированный, тогда a_ij=a_ji, т.е. матрица смежностей для неориентированного графа – симметрична. Для орграфа в общем случае a_ija_ji. Матрица смежности дуг орграфа В=[b_ij]: b_ij=1, если есть дуга u_i, непосредственно предшествующая дуге u_j, и b_ij=0 в противном случае.

Степень вершины P(v_i) - это количество инцидентных ей рёбер. Вершина степени 1 называется висячей. Вершина степени 0 называется изолированной. Полустепень захода вершины орграфа (количество входящих дуг) P⁺ (v_i) равна сумме элементов i–го столбца матрицы смежности вершин. Полустепень исхода вершины орграфа (количество выходящих дуг) P^-(v_i) равна сумме элементов i–ой строки матрицы смежности вершин. Путь из вершины v₁ в вершину v_k – это последовательность смежных рёбер (v₁,v₂),(v₂,v₃), …,(v_k-1,v_k), где v₁, v₂,…, v_k – различные вершины, кроме, может быть, v₁=v_k. Граф называется связным, если между любыми двумя его вершинами существует путь.