Тема 5. Введение в анализ

Пискунов, гл. 1, § 1—9, упр. 1—9, 39, 40; гл. II, § 1—5, упр. 1—6, 9—29; § 6—8, упр. 31—35, 38, 41—48; § 9—10, упр. 57, 59; § 11, упр. 60—62.

Разберите решения задач 10—12 из данного пособия.

Задача 10. Найти указанные пределы:

Решение: а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 0/0, чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель . Так как аргумент только стремиться к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множитель отличен от нуля при :

.

б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 0/0, чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель . Так как аргумент только стремиться к своему предельному значению 1, но не совпадает с ним, то множитель отличен от нуля при :

Имеем:

в) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 0/0, чтобы раскрыть эту неопределенность, домножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения для числителя и знаменателя (чтобы применить формулу ).

Тогда

г) .

Использовали первый замечательный предел .

Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной, так при ~ , то

д) при основание степени стремится к 1, а показатель степени стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида . Представим основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины:

Тогда

Положим при переменная Выразим показатель степени через новую переменную у. Так как 3х = –5у – 4, то

. Таким образом,

(используем второй замечательный предел).

Другой способ.

=

= .

е) При основание (3х–5) стремится к единице, а показатель степени стремится к бесконечности.

Положим где при Тогда и

Выразив основание и показатель степени через , получим

ж) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на .

Другой способ: вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшие степени x.

з) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы применить формулу a²–b²=(a–b)(a+b).

Задача 11. Дана функция

Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента и 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [–6; 6].

Решение: 1) Если ищется предел функции у = f(x) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним (левым) пределом данной функции в точке х = а и условно обозначается так:

Если ищется предел функции у = f(x) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке х = а и условно обозначается так:

Функция у = f(x) непрерывна при х = а, если выполняются следующие условия:

1) функция у = f(x) определена не только в точке а, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2) функция у = f(x) имеет при конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при совпадают со значением функции в точке а, т. е.

Если для данной функции у = f(x) в данной точке х = а хотя бы одно из перечисленных трех условий не вы­полняется, то функция называется разрывной в точке х = а.

Разрыв функции у = f(x) в точке х = а называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.

При х = –2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при слева и справа

так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным.

так как знаменатель стремиться к нулю, оставаясь положительным.

Таким образом, при х =–2 данная функция имеет разрыв второго рода.

При х = 3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции.

Исследуем поведение функции на концах области определения:

Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных): и . График функции показан на рис. 6.

Задача 12. Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.

Решение: Данная функция определена и непрерывна в интервалах

При х = — 2 и х = 1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв.

Определим односторонние пределы в точке х = – 2:

.

Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке х = 1:

Так как односторонние пределы функции у в точке х = 1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке х=1 скачок функции График функции показан на рис. 5.