Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Пискунов, гл. X111, §1—4, упр. 1 – 5, 9—23, 26,27, 29, 33, 35; §5, упр. 39—44, 46; § 7, 8, упр. 57—68. Разберите решения задач 32, 33 из данного пособия.

Задача 32. Найти общее решение уравнения .

Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при и есть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных . Применяем подстановку , где – некоторая функция аргумента .

Если , то дифференциал , и данное уравнение примет вид

.

Сократив на , будем иметь:

;

;

;

;

.

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно и . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

; ;

; .

Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или – общее решение данного уравнения.

Задача 33. Найти общее решение уравнения .

Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , где и - некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид

,

или

. (1)

Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции уравнение (1) примет вид

. (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:

; ; ;

; , .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; . Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.

Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка

Пискунов, гл. X111, §16—18, упр. 118, 121—124; §20-22, упр. 129—134, 136; §23, 24, упр. 148—157, 38—40; § 25, упр. 141. 158. Разберите решения задачи 34-37 из данного пособия.

Задача 34. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где - некоторая функция аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных и . Решим это уравнение:

; ;

,

откуда или .

Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка :

;

.

Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем ; .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 35. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение: Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим , – некоторая функция аргумента . Если

, то . Тогда данное уравнение примет вид

; ; .

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ; - решение данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

; ; ;

, или .

Используя начальные условия, находим :

; .

Далее решаем уравнение :

; .

Теперь определим значение :

; .

Тогда

; и - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 36. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

, , .

Решение: Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной :

.

В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим неоднородное линейное уравнение второго порядка:

(1)

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

Характеристическое уравнение имеет корни: , . Следовательно, общее решение (2) имеет вид

.

Находим частное решение . Дважды дифференцируя, получим , . Подставив в (1) , находим . Следовательно, и . (3)

Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда . (4)

Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему

Решение этой системы дает и . Следовательно,

и – частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Задача 37. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а)    ; б)    .

При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где , где - многочлен степени , - многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения составляем характеристическое уравнение . При решении которого возможны следующие случаи:

1. уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;

2. уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;

3. уравнение имеет комплексные корни и , тогда , где и - произвольные постоянные.

2. Если правая часть уравнения имеет специальный вид , где - многочлен степени , - многочлен степени , тогда частное решение ищется в виде: , и - многочлены степени , , а - кратность корня характеристического уравнения .

При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:

Степень многочлена	Вид многочлена	Вид многочлена
=0
=1
=2
=3

Решение: а) .

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .

Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , т.о. =1.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то ,

. Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : .

Подставляем начальные условия в и .

Отсюда

Тогда -частное решение исходного уравнения.

б)

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения комплексные числа (третий случай), то или .

Теперь найдём . Правая часть есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где и . Тогда .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, то .

Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и .

Отсюда

Тогда - частное решение исходного уравнения.