1.4. Додавання нового обмеження

Після отримання оптимального розв’язку можлива ситуація, коли необхідно врахувати нове обмеження. Введення додаткового обмеження може привести до однієї з наступних ситуацій:

1. Нове обмеження при поточному розв’язку виконується. В цьому випадку дане обмеження або незв’язуюче, або зайве, і тому його додавання не змінить отриманий розв’язок.

2. Нове обмеження при поточному розв’язку не виконується. В цьому разі за допомогою двоїстого симплекс-методу знаходиться новий розв’язок.

Приклад 2. Нехай до задачі (8)-(12) додане додаткове обмеження:

x₁ - x₂  1.

Розв’язок (⁴/₃,⁴/₃) не задовольняє це обмеження. Для його урахування потрібно виконати наступні дії.

1. Перетворимо обмеження до вигляду ”” :

-x₁ + x₂  -1.

2. Зведемо його до канонічної форми :

-x₁ + x₂ + s₄ = -1.

3. Виразимо всі базисні змінні, що входять до складу обмеження, через небазисні (за оптимальною симплекс-таблицею) :

x₁ = ²/₃ s₁ - ¹/₃ s_{2 +} ⁴/_{3 ;} x₂ = - ¹/₃ s₁ + ²/₃ s_{2 +} ⁴/_{3 .}

4. Підставимо ці значення в обмеження і після скорочення отримаємо :

- s₁ + s₂ + s₄ = -1.

5. Додамо це рівняння до оптимальної симплекс-таблиці (табл. 7):

Таблиця 7

Базисні змінні	x1	x2	s1	s2	s3	s4	Розв’язок
z	0	0	-1/3	-1/3	0	0	8/3
x1	1	0	-2/3	1/3	0	0	4/3
x2	0	1	1/3	-2/3	0	0	4/3
s3	0	0	1/3	1/3	1	0	22/3
s4	0	0	-1	1	0	1	-1
z	0	0	0	-2/3	0	-1/3	3
x1	1	0	0	-1/3	0	-2/3	2
x2	0	1	0	-1/3	0	1/3	1
s3	0	0	0	2/3	1	1/3	7
s1	0	0	1	-1	0	-1	1

Розв’язок, що є оптимальним і допустимим, відповідає точці D(2,1).

Рис. 2. Графічна ілюстрація розв’язку задачі з додатковим обмеженням

Приклад 3. Нехай до задачі (8)-(12) добавлене додаткове обмеження:

x₁  12.

Розв’язок (⁴/₃,⁴/₃) не задовольняє це обмеження. Для його урахування потрібно виконати наступні дії.

1. Перетворимо обмеження до вигляду ”” :

.

2. Приведемо його до канонічної форми :

.

3. Виразимо всі базисні змінні, що входять до складу обмеження, через небазисні (за оптимальною симплекс-таблиці) :

_.

4. Підставимо ці значення в обмеження і після скорочення отримаємо :

_.

Додамо це рівняння до оптимальної симплекс-таблиці (табл. 8).

Таблиця 8

Базисні змінні	X1	X2	S1	S2	S3	S5	Розв’язок
Z	0	0	-1/3	-1/3	0	0	8/3
X1	1	0	-2/3	1/3	0	0	4/3
X2	0	1	1/3	-2/3	0	0	4/3
S3	0	0	1/3	1/3	1	0	22/3
S5	0	0	-2/3	1/3	0	1	-32/3

За дві ітерації отримаємо оптимальну симплекс-таблицю (табл. 9).

Таблиця 9

Базисні змінні	X1	X2	S1	S2	S3	S5	Розв’язок
Z	0	-1	0	0	0	-1	12
X1	1	0	0	0	0	3/2	12
S2	0	-2	0	1	0	-1	8
S3	0	1	0	0	1	1	-2
S1	0	-1	1	0	0	-2	20

Оскільки у рядку S₃ всі коефіцієнти невід’ємні, а розв’язок від’ємний, то задача не має розв’язку.

Приклад 4.Нехай до задачі (8)-(12) добавлене додаткове обмеження:

3x₁ + 2x₂  6.

Розв’язок (⁴/₃,⁴/₃) не задовольняє це обмеження. Для його урахування потрібно виконати наступні дії.

1. Приведемо обмеження до канонічної форми :

3x₁ + 2x₂ + s₅ = 6.

2. Виразимо всі базисні змінні, що входять до складу обмеження, через небазисні (по оптимальній симплекс-таблиці) :

x₁ = ²/₃ s₁ - ¹/₃ s_{2 +} ⁴/_{3 ;} x₂ = - ¹/₃ s₁ + ²/₃ s_{2 +} ⁴/_{3 .}

3. Підставимо ці значення в обмеження і після скорочення отримаємо :

⁴/₃ s₁ + ¹/₃ s₂ + s₅ = - ²/_{3 .}

4. Не додаючи це обмеження до оптимальної симплекс-таблиці, бачимо, що всі коефіцієнти у лівій частині рівняння додатні, а в правій – від’ємне число. Це означає, що введене обмеження суперечить початковій системі обмежень.